Un défi par semaine

Octobre 2019, 4e défi

El 25 octubre 2019  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (11)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 43

Prenons un câble d’un mètre de long et choisissons au hasard deux longueurs $a$ et $b$ mesurées en mètre avec $0 < a < b < 1$. Coupons le câble en ces deux nombres. Quelle est la probabilité de pouvoir former un triangle avec les trois morceaux de câble ainsi obtenus?

Solution du 3e défi d’octobre :

Enoncé

La solution est $\dfrac{1}{3}$.

Le volume d’une pyramide est égal à $\frac{1}{3}B\times h$ où $B$ est l’aire de sa base et $h$ la longueur de sa hauteur.

Le tétraèdre $ACFH$ s’obtient en retirant au cube $4$ pyramides à base
triangulaire, chacune d’entre elles étant de volume égal au volume
de la pyramide $ABCF$.

Or le volume de $ABCF$ est
\[\tfrac{1}{3}\left( \tfrac{AB\times BC}{2}\right) \times BF=\left( \tfrac{1}{3}\right) \left( \tfrac{1\times1}{2}\right) \left( 1\right) =\tfrac{1}{6}.\]

Donc le volume du tétraèdre est $1-4\left( \tfrac{1}{6}\right) =\tfrac{1}{3}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Octobre 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Comentario sobre el artículo

  • Octobre 2019, 4e défi

    le 25 de octubre de 2019 à 11:08, par mesmaker

    La réponse, sauf erreur de ma part, est -ln(0,5)-0,5 à peu près égale à 0,193147....
    Ma condition pour que la découpe puisse former un triangle est que les trois longueurs soient plus petites ou égales à 0,5.
    *
    J’ai procédé en plusieurs étape. Déjà, j’ai fait un code python pour estimer la probabilité qui me donnait un résultat autour de 0,193. En gros je découpe mon segment de longueur 1 en deux avec les longueurs a et 1-a puis je rédécoupe 1-a en b et 1-a-b et je regarde si toutes ces longueurs sont plus petite que 0,5. Je fais cela 100000 fois. Je fais la moyenne du nombre d’occurrences.
    ############
    import numpy as np
    nbr_test = 100000
    exp = np.random.random(2*nbr_test)
    no = 0
    for i in range(nbr_test):
    a = exp[2*i]
    b = exp[2*i+1]*(1-a)
    if a <=0.5 and b <= 0.5 and 1-(a+b) <= 0.5:
    no = no + 1
    print(no/(nbr_test*1.))
    ##############
    *
    Ensuite j’ai trouvé que la probabilité était l’intégrale de 0 à 0,5 de x/(1-x). J’ai calculé cela avec GeoGebra qui m’a donné 0,1931. Puis j’ai calculé l’expression de l’intégrale en utilisant le fait que 1/(1-x) est la somme infinie des x^n et en inversant intégrale et somme. Je suis tombé sur la série du ln et j’ai pu trouver l’expression de l’intégrale -ln(0,5)-0,5 que l’on peut aussi écrire ln(2)-0,5.
    *
    Voilà en gros mes explications. Les résultats semblent cohérents. Mais il y a peut être plus simple.

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    • Octobre 2019, 4e défi

      le 26 de octubre de 2019 à 09:56, par Hébu

      Il faut être attentif aux «inégalités triangulaires». Ici, cela donne $cp>

      .
      Et comme $c=1-a-b$, elles se réécrivent $a+b>0.5$, $a<0.5$, $b<0.5$

      .
      Cela correspond au triangle ombré dans la figure jointe, limité par lesdites inégalités.
      De sorte que la proba cherchée, qui est l’aire de ce triangle, vaudra 1/8 -

      Document joint : triangle-4.jpg
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      • Octobre 2019, 4e défi

        le 26 de octubre de 2019 à 16:37, par mesmaker

        J’ai bien relu le texte et ce que j’en comprends c’est que l’on coupe le mètre à une longueur «a» qui donnera un côté de longueur «a» puis à un longueur «b» qui donnera un deuxième côté de longueur «b-a» puis le reste du mètre servira pour le troisième côté donc de longueur «1-b». Ainsi comme l’écrit bistraque les longueurs sont p=a, q=b-a et r=1-b et les inégalités sont alors
        b>1/2, a<1/2, b-a<1/2 ou de manière équivalente 1-b < 1/2, a<1/2 et b-a < 1/2.
        *
        Dans votre cas si je comprend bien, vous posez que les longueurs des côtés sont a, b et c = 1-a-b. Cela pose un problème par exemple si a=0,8 et b=0,9, cela donne c=-0,7 qui est impossible. N’est il pas ?

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        • Octobre 2019, 4e défi

          le 26 de octubre de 2019 à 17:38, par Hébu

          ce que je comprends du texte: on part d’un câble de longueur 1 mètre dont on fait 3 morceaux, en tirant au sort 2 variables a et b. Un premier morceau de longueur a, et un second de longueur b. Mais je comprends que c’est le même câble qu’on tente de couper en 3 morceaux. Alors évidemment, ce n’est possible que si a+b<1.
          J’interprète cela en disant "si a+b>1, je considère mon tirage inutile et je passe au suivant". Cela correspond au grand triangle nord-est de mon dessin.

          Ensuite je me retrouve avec 3 morceaux, de longueur a, b, et c=1-a-b (ce qui reste après avoir coupé). Et là, c’est l’inégalité triangulaire qui fait que je peux ou non faire un triangle. Si par exemple a=0.1 et b=0.2, alors c=0.7, pas de triangle possible. Dans ce cas là encore, je passe au suivant. C’est donc l’ensemble des inégalités triangulaires qui va déterminer la zone admissible.
          .

          Il existe probablement d’autres façons d’interpréter le texte. Qui conduisent à d’autres résultats. On se retrouve avec le «paradoxe de Bertrand» ! En particulier, le texte spécifie «choisissons au hasard deux longueurs vérifiant 0 < a < b < 1. En relisant, je me rends compte que cela interdit le tirage élémentaire»tirer 2 nombres entre 0 et 1". Il me semble que la procédure de tirage va jouer un rôle...

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          • Octobre 2019, 4e défi

            le 26 de octubre de 2019 à 18:32, par mesmaker

            En effet, en fonction de comment on comprend le texte, cela donne des résultats différents. Ainsi si on le comprend comme bistraque, comme je l’ai expliqué dans mon message précédent, le résultat est bien 1/4 par contre si on décide d’enlever les coupes inutiles alors on le comprend comme vous et le résultat est bien 1/8. Et enfin si on le comprend comme moi dans mon premier message avec une deuxième découpe dépendant de la première, le résultat est encore différent et vaut ln(2)-0.5. J’ai fait trois programmes python qui simulent les trois cas et chaque programme donne bien un des trois résultats théoriques attendus.

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  • Octobre 2019, 4e défi

    le 25 de octubre de 2019 à 13:24, par bistraque

    Le câble se décompose en 3 segments de longueurs: p=a, q=b-a, r=1-b
    Les conditions nécessaires pour former un triangle (on exclut les triangles plats) sont: p+q>r, q+r>p, r+p>q
    Ce qui équivaut à: b>1/2, a<1/2, b-a<1/2
    L’espace des possibles pour les points (a,b) est le triangle (0,0) (1,1) (0,1) résultat des 3 contraintes a>0, a<b, b<1. Les trois conditions ci-dessus forment une contrainte délimitant le triangle (1/2,1/2) (1/2,1) (0,1/2) quatre fois plus petit que le précédent.
    Donc la probabilité vaut 1/4

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    • Octobre 2019, 4e défi

      le 25 de octubre de 2019 à 14:23, par mesmaker

      Je confirme, s’il en est besoin car votre démonstration est très claire, par un test via un programme python que la solution à ce problème est bien 1/4 et non la solution compliqué ln(2)-0,5 que j’avais formulée.
      *
      Mon erreur est que je découpe une première fois le mètre pour avoir la longueur a, puis je choisi de couper le reste du mètre (1-a) après la première coupe et non pas en même temps. Il n’y a pas indépendance des coupes. J’ai donc répondu à une autre question.

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    • Octobre 2019, 4e défi

      le 25 de octubre de 2019 à 14:27, par mesmaker

      Je confirme, s’il en est besoin car votre démonstration est très claire, par un test via un programme python que la solution à ce problème est bien 1/4 et non la solution compliqué ln(2)-0,5 que j’avais formulée.
      *
      Mon erreur est que je découpe une première fois le mètre pour avoir la longueur a, puis je choisi de couper le reste du mètre (1-a) après la première coupe et non pas en même temps. Il n’y a pas indépendance des coupes. J’ai donc répondu à une autre question.

      Répondre à ce message
      • Octobre 2019, 4e défi

        le 26 de octubre de 2019 à 09:57, par Hébu

        Encore une fois, des parasites ont perturbé le texte ! Damned !
        Les inégalités triangulaires sont bien c < a+b, b<a+c, a<b+c

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  • Octobre 2019, 4e défi

    le 26 de octubre de 2019 à 00:04, par Veurius

    Soient x,y et z les trois longueurs dont la somme vaut 1. On obtient l’équation cartésienne d’un plan dans E^3 : x+y+z=1. Le triangle équilatéral dont les sommets sont les points (1,0,0) (0,1,0) et (0,0,1) contient tous les triples possibles. Ceux qui nous intéressent doivent posséder trois valeurs strictement plus petites que 0,5. L’ensemble des points dont les coordonnées «offrent» des longueurs permettant la construction d’un triangle forment donc le triangle équilatéral de sommets (0,5;0,5;0) (0,5;0;0,5) et (0;0,5;0,5). La surface du second triangle équivaut à un quart de celle du premier, ce qui nous donne la probabilité de 25 %.

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  • Octobre 2019, 4e défi

    le 27 de octubre de 2019 à 15:24, par Hébu

    Je reprends le texte proposé:

    "Prenons un câble d’un mètre de long et choisissons au hasard
    deux longueurs a et b mesurées en mètre avec 0 < a < b < 1."
    .

    On dispose d’un câble (unique) et de deux nombres "au hasard" tels que 0<a<b<1. Il y a une premiere interrogation ici. Comment sont pris ces nombres (voir plus loin) ?

    .

    "Coupons le câble en ces deux nombres."

    .
    J’interprète ceci comme le fait d’en prendre une longueur a puis une longueur b. C’est d’un seul câble dont on dispose, on en tire un morceau de longueur a, reste 1-a, c’est sur ce reste qu’on prélève le morceau de longueur b. Pour en prendre une longueur b, laissant 1-b, il faudrait disposer de 2 câbles. Le restant du câble, longueur 1-a-b constituera le 3ème morceau, 3ème côté de l’hypothétique triangle.

    Alors évidemment, si a+b> 1, on ne peut pas effectuer l’opération. Ca doit rentrer dans l’événement «construction impossible».

    .
    "Quelle est la probabilité de pouvoir former un triangle
    avec les trois morceaux de câble ainsi obtenus ?"

    .
    Si les morceaux, de longueur a, b, c peuvent construire un triangle, alors j’ai gagné. Sinon (ce sera le cas si les inégalités triangulaires ne sont pas respectées) je rencontre de nouveau l’événement «construction impossible».

    Les inégalités triangulaires, avec la donnée de a, b, c=1-a-b, conduisent aux conditions 2a<1; 2b<1; 2(a+b)>1. (on remarque que la condition qu’on a rencontrée plus haut, savoir a+b<1, est redondante)

    C’est à cet endroit que l’interrogation probabiliste surgit.

    .
    Le texte dit "deux longueurs, 0 < a < b < 1". Si on admet que b est distribué uniformément entre 0 et 1, avec probabilité 0.5 on satisfait b<0.5. Et puisque a<b, alors l’inégalité a<0.5 est réalisée en même temps.

    Reste la 3ème condition, a+b>0.5 soit a>0.5-b. Cela implique inévitablement b>0.25 (puisque aa>0.5-b)

    La probabilité cherchée se réduit à P(0.25 < b < 0.5 et a+b > 0.5)

    .
    Le calcul que j’avais proposé faisait l’impasse sur la condition a<b, supposant a et b uniformément distribués sur [0-1]. Si on demande a<b, on doit se donner la façon dont on choisit a et b.

    Par exemple, une méthode sera: "je tire au hasard deux nombres x et y, je prends le plus petit je l’appelle a, l’autre sera b."

    Autre méthode, "je tire b uniformément entre 0 et 1, puis a entre 0 et b"

    Ou encore "je tire 2 nombres x et y uniformes sur [0-1], je fais b=x, a=xy"

    Ou encore "je tire x et y, uniformes, je fais a=x, b=x+y".

    Ou encore ...
    .

    Chacune de ces méthodes me fournira un couple (a,b) satisfaisant 0<a<b<1, distribué aléatoirement,
    mais P($0.25 < b < 0.5$ et $a+b > 0.5$) sera a priori différent dans chacun des cas !

    .
    Désolé pour ce texte un peu long. J’ai réfléchi à ceci cette nuit - et avec le changement d’heure, j’ai eu du temps supplémentaire !

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