Un défi par semaine

Octobre 2019, 4e défi

El 25 octubre 2019  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (11)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 43

Prenons un câble d’un mètre de long et choisissons au hasard deux longueurs $a$ et $b$ mesurées en mètre avec $0 < a < b < 1$. Coupons le câble en ces deux nombres. Quelle est la probabilité de pouvoir former un triangle avec les trois morceaux de câble ainsi obtenus?

Solution du 3e défi d’octobre :

Enoncé

La solution est $\dfrac{1}{3}$.

Le volume d’une pyramide est égal à $\frac{1}{3}B\times h$ où $B$ est l’aire de sa base et $h$ la longueur de sa hauteur.

Le tétraèdre $ACFH$ s’obtient en retirant au cube $4$ pyramides à base
triangulaire, chacune d’entre elles étant de volume égal au volume
de la pyramide $ABCF$.

Or le volume de $ABCF$ est
\[\tfrac{1}{3}\left( \tfrac{AB\times BC}{2}\right) \times BF=\left( \tfrac{1}{3}\right) \left( \tfrac{1\times1}{2}\right) \left( 1\right) =\tfrac{1}{6}.\]

Donc le volume du tétraèdre est $1-4\left( \tfrac{1}{6}\right) =\tfrac{1}{3}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Octobre 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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  • Octobre 2019, 4e défi

    le 26 de octubre de 2019 à 09:56, par Hébu

    Il faut être attentif aux «inégalités triangulaires». Ici, cela donne $cp>

    .
    Et comme $c=1-a-b$, elles se réécrivent $a+b>0.5$, $a<0.5$, $b<0.5$

    .
    Cela correspond au triangle ombré dans la figure jointe, limité par lesdites inégalités.
    De sorte que la proba cherchée, qui est l’aire de ce triangle, vaudra 1/8 -

    Document joint : triangle-4.jpg
    Répondre à ce message

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