Un défi par semaine

Octobre 2019, 4e défi

Le 25 octobre 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (11)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 43

Prenons un câble d’un mètre de long et choisissons au hasard deux longueurs $a$ et $b$ mesurées en mètre avec $0 < a < b < 1$. Coupons le câble en ces deux nombres. Quelle est la probabilité de pouvoir former un triangle avec les trois morceaux de câble ainsi obtenus ?

Solution du 3e défi d’octobre :

Enoncé

La solution est $\dfrac{1}{3}$.

Le volume d’une pyramide est égal à $\frac{1}{3}B\times h$ où $B$ est l’aire de sa base et $h$ la longueur de sa hauteur.

Le tétraèdre $ACFH$ s’obtient en retirant au cube $4$ pyramides à base
triangulaire, chacune d’entre elles étant de volume égal au volume
de la pyramide $ABCF$.

Or le volume de $ABCF$ est
\[\tfrac{1}{3}\left( \tfrac{AB\times BC}{2}\right) \times BF=\left( \tfrac{1}{3}\right) \left( \tfrac{1\times1}{2}\right) \left( 1\right) =\tfrac{1}{6}.\]

Donc le volume du tétraèdre est $1-4\left( \tfrac{1}{6}\right) =\tfrac{1}{3}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - REDPIXEL.PL / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Octobre 2019, 4e défi

    le 25 octobre 2019 à 11:08, par mesmaker

    La réponse, sauf erreur de ma part, est -ln(0,5)-0,5 à peu près égale à 0,193147....
    Ma condition pour que la découpe puisse former un triangle est que les trois longueurs soient plus petites ou égales à 0,5.
    *
    J’ai procédé en plusieurs étape. Déjà, j’ai fait un code python pour estimer la probabilité qui me donnait un résultat autour de 0,193. En gros je découpe mon segment de longueur 1 en deux avec les longueurs a et 1-a puis je rédécoupe 1-a en b et 1-a-b et je regarde si toutes ces longueurs sont plus petite que 0,5. Je fais cela 100000 fois. Je fais la moyenne du nombre d’occurrences.
    ############
    import numpy as np
    nbr_test = 100000
    exp = np.random.random(2*nbr_test)
    no = 0
    for i in range(nbr_test) :
    a = exp[2*i]
    b = exp[2*i+1]*(1-a)
    if a <=0.5 and b <= 0.5 and 1-(a+b) <= 0.5 :
    no = no + 1
    print(no/(nbr_test*1.))
    ##############
    *
    Ensuite j’ai trouvé que la probabilité était l’intégrale de 0 à 0,5 de x/(1-x). J’ai calculé cela avec GeoGebra qui m’a donné 0,1931. Puis j’ai calculé l’expression de l’intégrale en utilisant le fait que 1/(1-x) est la somme infinie des x^n et en inversant intégrale et somme. Je suis tombé sur la série du ln et j’ai pu trouver l’expression de l’intégrale -ln(0,5)-0,5 que l’on peut aussi écrire ln(2)-0,5.
    *
    Voilà en gros mes explications. Les résultats semblent cohérents. Mais il y a peut être plus simple.

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