Un défi par semaine

Octobre 2019, 4e défi

Le 25 octobre 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (11)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 43

Prenons un câble d’un mètre de long et choisissons au hasard deux longueurs $a$ et $b$ mesurées en mètre avec $0 < a < b < 1$. Coupons le câble en ces deux nombres. Quelle est la probabilité de pouvoir former un triangle avec les trois morceaux de câble ainsi obtenus ?

Solution du 3e défi d’octobre :

Enoncé

La solution est $\dfrac{1}{3}$.

Le volume d’une pyramide est égal à $\frac{1}{3}B\times h$ où $B$ est l’aire de sa base et $h$ la longueur de sa hauteur.

Le tétraèdre $ACFH$ s’obtient en retirant au cube $4$ pyramides à base
triangulaire, chacune d’entre elles étant de volume égal au volume
de la pyramide $ABCF$.

Or le volume de $ABCF$ est
\[\tfrac{1}{3}\left( \tfrac{AB\times BC}{2}\right) \times BF=\left( \tfrac{1}{3}\right) \left( \tfrac{1\times1}{2}\right) \left( 1\right) =\tfrac{1}{6}.\]

Donc le volume du tétraèdre est $1-4\left( \tfrac{1}{6}\right) =\tfrac{1}{3}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - REDPIXEL.PL / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Octobre 2019, 4e défi

    le 25 octobre 2019 à 14:27, par mesmaker

    Je confirme, s’il en est besoin car votre démonstration est très claire, par un test via un programme python que la solution à ce problème est bien 1/4 et non la solution compliqué ln(2)-0,5 que j’avais formulée.
    *
    Mon erreur est que je découpe une première fois le mètre pour avoir la longueur a, puis je choisi de couper le reste du mètre (1-a) après la première coupe et non pas en même temps. Il n’y a pas indépendance des coupes. J’ai donc répondu à une autre question.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?