Un défi par semaine

Octobre 2019, 4e défi

Le 25 octobre 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (11)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 43

Prenons un câble d’un mètre de long et choisissons au hasard deux longueurs $a$ et $b$ mesurées en mètre avec $0 < a < b < 1$. Coupons le câble en ces deux nombres. Quelle est la probabilité de pouvoir former un triangle avec les trois morceaux de câble ainsi obtenus ?

Solution du 3e défi d’octobre :

Enoncé

La solution est $\dfrac{1}{3}$.

Le volume d’une pyramide est égal à $\frac{1}{3}B\times h$ où $B$ est l’aire de sa base et $h$ la longueur de sa hauteur.

Le tétraèdre $ACFH$ s’obtient en retirant au cube $4$ pyramides à base
triangulaire, chacune d’entre elles étant de volume égal au volume
de la pyramide $ABCF$.

Or le volume de $ABCF$ est
\[\tfrac{1}{3}\left( \tfrac{AB\times BC}{2}\right) \times BF=\left( \tfrac{1}{3}\right) \left( \tfrac{1\times1}{2}\right) \left( 1\right) =\tfrac{1}{6}.\]

Donc le volume du tétraèdre est $1-4\left( \tfrac{1}{6}\right) =\tfrac{1}{3}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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Image à la une - REDPIXEL.PL / SHUTTERSTOCK

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  • Octobre 2019, 4e défi

    le 26 octobre 2019 à 00:04, par Veurius

    Soient x,y et z les trois longueurs dont la somme vaut 1. On obtient l’équation cartésienne d’un plan dans E^3 : x+y+z=1. Le triangle équilatéral dont les sommets sont les points (1,0,0) (0,1,0) et (0,0,1) contient tous les triples possibles. Ceux qui nous intéressent doivent posséder trois valeurs strictement plus petites que 0,5. L’ensemble des points dont les coordonnées « offrent » des longueurs permettant la construction d’un triangle forment donc le triangle équilatéral de sommets (0,5 ;0,5 ;0) (0,5 ;0 ;0,5) et (0 ;0,5 ;0,5). La surface du second triangle équivaut à un quart de celle du premier, ce qui nous donne la probabilité de 25 %.

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