Un défi par semaine

Octobre 2019, 4e défi

Le 25 octobre 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (11)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 43

Prenons un câble d’un mètre de long et choisissons au hasard deux longueurs $a$ et $b$ mesurées en mètre avec $0 < a < b < 1$. Coupons le câble en ces deux nombres. Quelle est la probabilité de pouvoir former un triangle avec les trois morceaux de câble ainsi obtenus ?

Solution du 3e défi d’octobre :

Enoncé

La solution est $\dfrac{1}{3}$.

Le volume d’une pyramide est égal à $\frac{1}{3}B\times h$ où $B$ est l’aire de sa base et $h$ la longueur de sa hauteur.

Le tétraèdre $ACFH$ s’obtient en retirant au cube $4$ pyramides à base
triangulaire, chacune d’entre elles étant de volume égal au volume
de la pyramide $ABCF$.

Or le volume de $ABCF$ est
\[\tfrac{1}{3}\left( \tfrac{AB\times BC}{2}\right) \times BF=\left( \tfrac{1}{3}\right) \left( \tfrac{1\times1}{2}\right) \left( 1\right) =\tfrac{1}{6}.\]

Donc le volume du tétraèdre est $1-4\left( \tfrac{1}{6}\right) =\tfrac{1}{3}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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Image à la une - REDPIXEL.PL / SHUTTERSTOCK

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  • Octobre 2019, 4e défi

    le 26 octobre 2019 à 17:38, par Hébu

    ce que je comprends du texte : on part d’un câble de longueur 1 mètre dont on fait 3 morceaux, en tirant au sort 2 variables a et b. Un premier morceau de longueur a, et un second de longueur b. Mais je comprends que c’est le même câble qu’on tente de couper en 3 morceaux. Alors évidemment, ce n’est possible que si a+b<1.
    J’interprète cela en disant "si a+b>1, je considère mon tirage inutile et je passe au suivant". Cela correspond au grand triangle nord-est de mon dessin.

    Ensuite je me retrouve avec 3 morceaux, de longueur a, b, et c=1-a-b (ce qui reste après avoir coupé). Et là, c’est l’inégalité triangulaire qui fait que je peux ou non faire un triangle. Si par exemple a=0.1 et b=0.2, alors c=0.7, pas de triangle possible. Dans ce cas là encore, je passe au suivant. C’est donc l’ensemble des inégalités triangulaires qui va déterminer la zone admissible.
    .

    Il existe probablement d’autres façons d’interpréter le texte. Qui conduisent à d’autres résultats. On se retrouve avec le « paradoxe de Bertrand » ! En particulier, le texte spécifie « choisissons au hasard deux longueurs vérifiant 0 < a < b < 1. En relisant, je me rends compte que cela interdit le tirage élémentaire »tirer 2 nombres entre 0 et 1". Il me semble que la procédure de tirage va jouer un rôle...

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