Enoncé

La réponse est : un carré.

Quadrillons le carré de $23$ cm de côté par des lignes et colonnes de 1 cm de côté et colorons les lignes de ce quadrillage en alternant deux couleurs.

Par exemple, la première ligne en rouge et la deuxième en bleu, la troisième en rouge et ainsi de suite jusqu’à la ligne numéro $23$ qui sera en rouge.
Ainsi, la différence entre le nombre de carreaux rouges et le nombre de carreaux bleus est $23$, puisque cela correspond à une ligne complète du quadrillage.

Observons que si nous ne plaçons que des carrés de $2\,\mbox{cm} \times 2\,\mbox{cm}$ et $3\,\mbox{cm} \times 3\,\mbox{cm}$, les carrés de $2\,\mbox{cm} \times 2\,\mbox{cm}$ couvrent la même quantité de carreaux de chaque couleur alors que ceux de $3\,\mbox{cm} \times 3\,\mbox{cm}$ couvrent trois carreaux de plus d’une des deux couleurs.

C’est-à-dire que la différence doit être un multiple de $3$. Puisque $23$ n’est pas un multiple de trois, nous ne pouvons pas couvrir le grand carré uniquement avec des carrées de $2\,\mbox{cm} \times 2\,\mbox{cm}$ et de $3\,\mbox{cm} \times 3\,\mbox{cm}$.

Nous aurons besoin d’au moins un carré de $1\,\mbox{cm} \times 1\,\mbox{cm}$.

Si l’on place au centre un carré de $1\,\mbox{cm} \times 1\,\mbox{cm}$ alors la surface restante peut se diviser en quatre rectangles égaux de $11\,\mbox{cm} \times 12\,\mbox{cm}$ comme indiqué dans la figure de gauche.
Chaque rectangle peut se couvrir avec $6$ carrés de $2\,\mbox{cm} \times 2\,\mbox{cm}$ et $12$ carrés de $3\,\mbox{cm} \times 3\,\mbox{cm}$.