Un défi par semaine
Octobre 2020, 2e défi
El
9 octubre 2020
- Escrito por
Ana Rechtman
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !
Semaine 41
Si les distances sont en centimètres et si tous les angles internes mesurent $120^\circ$, quel est le rapport entre l’aire du premier hexagone et celui du second?
Enoncé
La réponse est $t_{2020} = \dfrac{1}{2019}$.
Calculons les premiers termes de la suite :
$t_1 = 1$, $t_2 = 1$, $t_3 = 0$, $t_4 = \frac{1}{3}$, $t_5 = 0$ et $t_6 = \frac{1}{5}$.
Si $n$ est impair nous pouvons l’écrire sous la forme $n=2k+1$ avec $k$ un nombre entier tel que $k \geq 1$.
\[
\begin{eqnarray*}
t_{2k+1} & = & \left( \frac{2k-2}{2k}\right)t_{2k-1}\\
& = & \left(
\frac{2k-2}{2k}\right)\left(\frac{2k-4}{2k-2}\right)t_{2k-3}\\
& = & \left(\frac{2k-2}{2k}\right)\left(\frac{2k-4}{2k-2}\right)\cdots
\left(\frac{2}{4}\right)t_{3}=0.
\end{eqnarray*}
\]
Nous voyons que si $n>1$ est impair alors $t_n=0$.
Maintenant voyons le cas $n$ pair.
Nous pouvons alors l’écrire sous la forme $n=2k$ avec $k$ un nombre entier tel que $k > 1$ et nous avons :
\[
\begin{eqnarray*}
t_{2k} & = & \left(\frac{2k-3}{2k-1}\right)t_{2k-2}\\
& = &
\left(\frac{2k-3}{2k-1}\right)\left(\frac{2k-5}{2k-3}\right)t_{2k-4}\\
& = &
\left(\frac{2k-3}{2k-1}\right)\left(\frac{2k-5}{2k-3}\right)\left(\frac{2k-7}{2k-5}\right)\cdots
\left(\frac{1}{3}\right)t_{2}\\
& = & \frac{1}{2k-1}.
\end{eqnarray*}
\]
Si $n$ est pair nous obtenons donc $t_n = \frac{1}{n-1}$.
Ainsi, $t_{2020} = \frac{1}{2019}$.
Post-scriptum : Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.
Disponible en librairie et sur www.pug.fr
Para citar este artículo:
Ana Rechtman
— «Octobre 2020, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020
Imagen de portada - CÉSAR, RENAULT VL 06, 1986 © RMN-GRAND PALAIS / BENJAMIN SOLIGNY / RAPHAËL CHIPAULT / VILLE DE MARSEILLE / SBJ / ADAGP, PARIS, 2019
Comentario sobre el artículo
Octobre 2020, 2e défi
le 9 de octubre de 2020 à 08:22, par Al_louarn
Octobre 2020, 2e défi
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le 9 de octubre de 2020 à 11:07, par orion8