Un défi par semaine

Octobre 2020, 2e défi

El 9 octubre 2020  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 41

Si les distances sont en centimètres et si tous les angles internes mesurent $120^\circ$, quel est le rapport entre l’aire du premier hexagone et celui du second?

Solution du 1er défi d’octobre :

Enoncé

La réponse est $t_{2020} = \dfrac{1}{2019}$.

Calculons les premiers termes de la suite :
$t_1 = 1$, $t_2 = 1$, $t_3 = 0$, $t_4 = \frac{1}{3}$, $t_5 = 0$ et $t_6 = \frac{1}{5}$.

Si $n$ est impair nous pouvons l’écrire sous la forme $n=2k+1$ avec $k$ un nombre entier tel que $k \geq 1$.

\[ \begin{eqnarray*} t_{2k+1} & = & \left( \frac{2k-2}{2k}\right)t_{2k-1}\\ & = & \left( \frac{2k-2}{2k}\right)\left(\frac{2k-4}{2k-2}\right)t_{2k-3}\\ & = & \left(\frac{2k-2}{2k}\right)\left(\frac{2k-4}{2k-2}\right)\cdots \left(\frac{2}{4}\right)t_{3}=0. \end{eqnarray*} \]

Nous voyons que si $n>1$ est impair alors $t_n=0$.

Maintenant voyons le cas $n$ pair.

Nous pouvons alors l’écrire sous la forme $n=2k$ avec $k$ un nombre entier tel que $k > 1$ et nous avons :
\[ \begin{eqnarray*} t_{2k} & = & \left(\frac{2k-3}{2k-1}\right)t_{2k-2}\\ & = & \left(\frac{2k-3}{2k-1}\right)\left(\frac{2k-5}{2k-3}\right)t_{2k-4}\\ & = & \left(\frac{2k-3}{2k-1}\right)\left(\frac{2k-5}{2k-3}\right)\left(\frac{2k-7}{2k-5}\right)\cdots \left(\frac{1}{3}\right)t_{2}\\ & = & \frac{1}{2k-1}. \end{eqnarray*} \]

Si $n$ est pair nous obtenons donc $t_n = \frac{1}{n-1}$.
Ainsi, $t_{2020} = \frac{1}{2019}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Octobre 2020, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - CÉSAR, RENAULT VL 06, 1986 © RMN-GRAND PALAIS / BENJAMIN SOLIGNY / RAPHAËL CHIPAULT / VILLE DE MARSEILLE / SBJ / ADAGP, PARIS, 2019

Comentario sobre el artículo

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  • Octobre 2020, 2e défi

    le 9 de octubre de 2020 à 10:08, par orion8

    On peut aussi considérer que le premier hexagone est un triangle équilatéral de côté 4 et donc d’aire $4\sqrt{3}$ amputé en ses trois pointes de trois triangles équilatéraux de côté 1 et donc d’aire $\frac{\sqrt{3}}{4}$, ce qui nous fait : $4\sqrt{3}-3\times \frac{\sqrt{3}}{4}= 13\frac{\sqrt{3}}{4}$.
    L’hexagone régulier quant à lui ayant une aire de $3\frac{\sqrt{3}}{2}\times 1^2=6\frac{\sqrt{3}}{4}$, on retrouve bien le rapport $\dfrac{13}{6}$.
    PS. Je préfère la méthode du réseau triangulaire, plus simple (enfantine !) et pas calculatoire du tout !

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