Un défi par semaine

Octobre 2020, 2e défi

Le 9 octobre 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 41

Si les distances sont en centimètres et si tous les angles internes mesurent $120^\circ$, quel est le rapport entre l’aire du premier hexagone et celui du second ?

Solution du 1er défi d’octobre :

Enoncé

La réponse est $t_{2020} = \dfrac{1}{2019}$.

Calculons les premiers termes de la suite :
$t_1 = 1$, $t_2 = 1$, $t_3 = 0$, $t_4 = \frac{1}{3}$, $t_5 = 0$ et $t_6 = \frac{1}{5}$.

Si $n$ est impair nous pouvons l’écrire sous la forme $n=2k+1$ avec $k$ un nombre entier tel que $k \geq 1$.

\[ \begin{eqnarray*} t_{2k+1} & = & \left( \frac{2k-2}{2k}\right)t_{2k-1}\\ & = & \left( \frac{2k-2}{2k}\right)\left(\frac{2k-4}{2k-2}\right)t_{2k-3}\\ & = & \left(\frac{2k-2}{2k}\right)\left(\frac{2k-4}{2k-2}\right)\cdots \left(\frac{2}{4}\right)t_{3}=0. \end{eqnarray*} \]

Nous voyons que si $n>1$ est impair alors $t_n=0$.

Maintenant voyons le cas $n$ pair.

Nous pouvons alors l’écrire sous la forme $n=2k$ avec $k$ un nombre entier tel que $k > 1$ et nous avons :
\[ \begin{eqnarray*} t_{2k} & = & \left(\frac{2k-3}{2k-1}\right)t_{2k-2}\\ & = & \left(\frac{2k-3}{2k-1}\right)\left(\frac{2k-5}{2k-3}\right)t_{2k-4}\\ & = & \left(\frac{2k-3}{2k-1}\right)\left(\frac{2k-5}{2k-3}\right)\left(\frac{2k-7}{2k-5}\right)\cdots \left(\frac{1}{3}\right)t_{2}\\ & = & \frac{1}{2k-1}. \end{eqnarray*} \]

Si $n$ est pair nous obtenons donc $t_n = \frac{1}{n-1}$.
Ainsi, $t_{2020} = \frac{1}{2019}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2020, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - CÉSAR, RENAULT VL 06, 1986 © RMN-GRAND PALAIS / BENJAMIN SOLIGNY / RAPHAËL CHIPAULT / VILLE DE MARSEILLE / SBJ / ADAGP, PARIS, 2019

Commentaire sur l'article

  • Octobre 2020, 2e défi

    le 9 octobre à 08:22, par Al_louarn

    Il est facile de dessiner ces hexagones en suivant les lignes d’un réseau triangulaire, ce qui permet de les paver avec des triangles équilatéraux de côté $1$. Il y en a $13$ pour le premier et $6$ pour le second. Le rapport des aires est donc $\dfrac{13}{6}$.

    Répondre à ce message
    • Octobre 2020, 2e défi

      le 9 octobre à 10:08, par orion8

      On peut aussi considérer que le premier hexagone est un triangle équilatéral de côté 4 et donc d’aire $4\sqrt{3}$ amputé en ses trois pointes de trois triangles équilatéraux de côté 1 et donc d’aire $\frac{\sqrt{3}}{4}$, ce qui nous fait : $4\sqrt{3}-3\times \frac{\sqrt{3}}{4}= 13\frac{\sqrt{3}}{4}$.
      L’hexagone régulier quant à lui ayant une aire de $3\frac{\sqrt{3}}{2}\times 1^2=6\frac{\sqrt{3}}{4}$, on retrouve bien le rapport $\dfrac{13}{6}$.
      PS. Je préfère la méthode du réseau triangulaire, plus simple (enfantine !) et pas calculatoire du tout !

      Répondre à ce message
    • Octobre 2020, 2e défi

      le 9 octobre à 10:14, par ROUX

      Et donc le dessin facile 😉😊😊

      Document joint : 1602231158931-1004302789.jpg
      Répondre à ce message
      • Octobre 2020, 2e défi

        le 9 octobre à 11:07, par orion8

        Merci au grand enfant qui a posté son schéma !
        Comme chacun sait, ou pas, les dessins d’enfant sont l’objet d’une étude savante, initiée par Grothendieck lui-même !

        Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?