Défis du calendrier mathématique Retour à la rubrique

Un défi par semaine

Octobre 2020, 2e défi

Le 9 octobre 2020 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
Lire l'article en

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 41

Si les distances sont en centimètres et si tous les angles internes mesurent $120^\circ$, quel est le rapport entre l’aire du premier hexagone et celui du second ?

Solution du 1er défi d’octobre :

Enoncé

La réponse est $t_{2020} = \dfrac{1}{2019}$.

Calculons les premiers termes de la suite :
$t_1 = 1$, $t_2 = 1$, $t_3 = 0$, $t_4 = \frac{1}{3}$, $t_5 = 0$ et $t_6 = \frac{1}{5}$.

Si $n$ est impair nous pouvons l’écrire sous la forme $n=2k+1$ avec $k$ un nombre entier tel que $k \geq 1$.

\[ \begin{eqnarray*} t_{2k+1} & = & \left( \frac{2k-2}{2k}\right)t_{2k-1}\\ & = & \left( \frac{2k-2}{2k}\right)\left(\frac{2k-4}{2k-2}\right)t_{2k-3}\\ & = & \left(\frac{2k-2}{2k}\right)\left(\frac{2k-4}{2k-2}\right)\cdots \left(\frac{2}{4}\right)t_{3}=0. \end{eqnarray*} \]

Nous voyons que si $n>1$ est impair alors $t_n=0$.

Maintenant voyons le cas $n$ pair.

Nous pouvons alors l’écrire sous la forme $n=2k$ avec $k$ un nombre entier tel que $k > 1$ et nous avons :
\[ \begin{eqnarray*} t_{2k} & = & \left(\frac{2k-3}{2k-1}\right)t_{2k-2}\\ & = & \left(\frac{2k-3}{2k-1}\right)\left(\frac{2k-5}{2k-3}\right)t_{2k-4}\\ & = & \left(\frac{2k-3}{2k-1}\right)\left(\frac{2k-5}{2k-3}\right)\left(\frac{2k-7}{2k-5}\right)\cdots \left(\frac{1}{3}\right)t_{2}\\ & = & \frac{1}{2k-1}. \end{eqnarray*} \]

Si $n$ est pair nous obtenons donc $t_n = \frac{1}{n-1}$.
Ainsi, $t_{2020} = \frac{1}{2019}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Commentaire sur l'article

Octobre 2020, 2e défi

le 9 octobre 2020 à 08:22, par Al_louarn

Il est facile de dessiner ces hexagones en suivant les lignes d’un réseau triangulaire, ce qui permet de les paver avec des triangles équilatéraux de côté $1$. Il y en a $13$ pour le premier et $6$ pour le second. Le rapport des aires est donc $\dfrac{13}{6}$.
Répondre à ce message

Octobre 2020, 2e défi

le 9 octobre 2020 à 10:08, par orion8

On peut aussi considérer que le premier hexagone est un triangle équilatéral de côté 4 et donc d’aire $4\sqrt{3}$ amputé en ses trois pointes de trois triangles équilatéraux de côté 1 et donc d’aire $\frac{\sqrt{3}}{4}$, ce qui nous fait : $4\sqrt{3}-3\times \frac{\sqrt{3}}{4}= 13\frac{\sqrt{3}}{4}$.
L’hexagone régulier quant à lui ayant une aire de $3\frac{\sqrt{3}}{2}\times 1^2=6\frac{\sqrt{3}}{4}$, on retrouve bien le rapport $\dfrac{13}{6}$.
PS. Je préfère la méthode du réseau triangulaire, plus simple (enfantine !) et pas calculatoire du tout !
Répondre à ce message
Octobre 2020, 2e défi

le 9 octobre 2020 à 10:14, par ROUX

Et donc le dessin facile 😉😊😊
Document joint : 1602231158931-1004302789.jpg
Répondre à ce message

Octobre 2020, 2e défi

le 9 octobre 2020 à 11:07, par orion8

Merci au grand enfant qui a posté son schéma !
Comme chacun sait, ou pas, les dessins d’enfant sont l’objet d’une étude savante, initiée par Grothendieck lui-même !
Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexion | s’inscrire | mot de passe oublié ?

L'auteur

Ana Rechtman

Un défi par semaine

Octobre 2020, 2e défi

Solution du 1er défi d’octobre :

Commentaire sur l'article