Enoncé

La réponse est $t_{2020} = \dfrac{1}{2019}$.

Calculons les premiers termes de la suite :
$t_1 = 1$, $t_2 = 1$, $t_3 = 0$, $t_4 = \frac{1}{3}$, $t_5 = 0$ et $t_6 = \frac{1}{5}$.

Si $n$ est impair nous pouvons l’écrire sous la forme $n=2k+1$ avec $k$ un nombre entier tel que $k \geq 1$.

\[ \begin{eqnarray*} t_{2k+1} & = & \left( \frac{2k-2}{2k}\right)t_{2k-1}\\ & = & \left( \frac{2k-2}{2k}\right)\left(\frac{2k-4}{2k-2}\right)t_{2k-3}\\ & = & \left(\frac{2k-2}{2k}\right)\left(\frac{2k-4}{2k-2}\right)\cdots \left(\frac{2}{4}\right)t_{3}=0. \end{eqnarray*} \]

Nous voyons que si $n>1$ est impair alors $t_n=0$.

Maintenant voyons le cas $n$ pair.

Nous pouvons alors l’écrire sous la forme $n=2k$ avec $k$ un nombre entier tel que $k > 1$ et nous avons :
\[ \begin{eqnarray*} t_{2k} & = & \left(\frac{2k-3}{2k-1}\right)t_{2k-2}\\ & = & \left(\frac{2k-3}{2k-1}\right)\left(\frac{2k-5}{2k-3}\right)t_{2k-4}\\ & = & \left(\frac{2k-3}{2k-1}\right)\left(\frac{2k-5}{2k-3}\right)\left(\frac{2k-7}{2k-5}\right)\cdots \left(\frac{1}{3}\right)t_{2}\\ & = & \frac{1}{2k-1}. \end{eqnarray*} \]

Si $n$ est pair nous obtenons donc $t_n = \frac{1}{n-1}$.
Ainsi, $t_{2020} = \frac{1}{2019}$.