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• Octobre 2022, 1er défi

  le 8 octobre 2022 à 20:25, par Al_louarn

  Soit $(u_n)$ la suite des nombres qui s’écrivent uniquement avec les chiffres $0$, $1$, $2$ (en base $10$) : $u_1 = 0$, $u_2=1$, ..., $u_6=12$, $u_7 = 20$, $u_8=21$, $u_9 = 22$, $u_{10} = 100$, ...
  On note qu’on peut démarrer la somme alternée $S$ par $-0$ sans changer le résultat.
  Comme il y a $9$ termes inférieurs à $100$, et que $2022 = 100u_7 + u_9$, on peut décomposer $S$ en $7$ paquets de $9$ nombres, grâce à la division entière par $100$ :
  \[S= \sum_{i=1}^{7} \sum_{j=1}^{9}(-1)^{i+j+1}(100u_i + u_j)\]
  \[S= -\sum_{i=1}^{7} \sum_{j=1}^{9}(100(-1)^{i}u_i(-1)^{j} + (-1)^{i}(-1)^{j}u_j)\]
  \[S= -100 (\sum_{i=1}^{7} (-1)^{i}u_i)( \sum_{j=1}^{9}(-1)^{j}) - (\sum_{i=1}^{7}(-1)^{i})(\sum_{j=1}^{9}(-1)^{j}u_j)\]

  Comme $7$ et $9$ sont impairs on a :
  \[\sum_{i=1}^{7}(-1)^{i} = \sum_{j=1}^{9}(-1)^{j} = -1\]

  Calculons explicitement les deux autres sommes :
  \[\sum_{i=1}^{7} (-1)^{i}u_i = - 0 + 1 - 2 + 10 - 11 + 12 - 20 = -10\]
  \[\sum_{j=1}^{9}(-1)^{j}u_j = -10 + 21 - 22 = -11\]

  Finalement : \[S=-100(-10)(-1)-(-1)(-11) = -1011\]

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• Octobre 2022, 1er défi

  le 9 octobre 2022 à 10:25, par Kamakor

  On considère la suite $(U_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $U_n=a_n \times 10^n + a_{n-1} \times 10^{n-1} + \ldots + a_1 \times 10 + a_0$ où $a_na_{n-1}\ldots a_1a_0$ est l’écriture de $n$ en base $3$. On a alors\ $U_0=0$, $U_1=1$, $U_2=2$, $U_3=10$, $U_4=11$, $U_5=12$, $U_6=20$, $U_7=21$, $U_8=22$, $U_9=100$, etc

  On remarque que pour tout entier naturel $n$ :

  $\square$ Si $n<3^k$ alors le terme $U_n$ a $k$ chiffres ou moins
  $\square$ Si $3^k \leq n <2\times 3^k$ alors le terme $U_n$ s’écrit avec $k+1$ chiffres dont le premier est 1
  $\square$ Si $2\times 3^k \leq n <\times 3^k+1$ alors le terme $U_n$ s’écrit $k+1$ chiffres dont le premier est 2
  $\square $ Si $n<3^k$ alors $U_{3^k+n}=10^k+U_n$ et $U_{2\times 3^k+n}=2\times 10^k+U_n$
  \enditemize

  Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $S_n=\sum\limits_{\substack{i=0}}^{n}{(-1)^{i+1}U_n} $. Ainsi :
  $S_6=-U_0+U_1-U_2+U_3-U_4+U_5-U_6=-0 + 1- 2 + 10- 11 +12 - 20=-10$
  \
  Montrons par récurrence la propriété suivante :

  $P_k :$ Si $n$ est un entier tel que $U_n$ s’écrit avec $k$ chiffres ou moins, chacun valant $0$ ou $2$, alors $S_n=-\dfrac{U_n}{2}$

  \
  Si $U_n$ s’écrit avec un seul chiffre ($k=1$) alors, le premier chiffre étant non nul, on a nécessairement $U_n=2$.
  On a alors $n=2$ et $S_2-02=-1$ soit $-\dfrac{U_2}{2}$ . On a donc $P_1$.
  \

  Supposons $P_k$ pour un certain entier naturel $k$, montrons $P_{k+1}$

  Soit $m$ un entier tel que $U_m$ s’écrit avec $k+1$ chiffres, chacun valant $0$ ou $2$. Le premier chiffre étant non nul, celui-ci vaut $2$.
  Soit alors $n=m-2\times 3^k$. $U_n$ contient au plus $k$ chiffres parmi $0$ ou $2$ et $U_m=2\times10^k+U_n$.

  $S_m=\sum\limits_{\substack{i=0}}^{m}{(-1)^{i+1}U_i}=\sum\limits_{\substack{i=0}}^{3^k-1}{(-1)^{i+1} U_i}+\sum\limits_{\substack{i=3^k}}^{2\times3^k-1}{(-1)^{i+1} U_i} + \sum\limits_{\substack{i=2\times 3^k}}^{m}{(-1)^{i+1} U_i}$

  En posant $A_k=\sum\limits_{\substack{i=0}}^{3^k-1}{(-1)^{i+1}U_i}$ et $j=i-3^k$, on a :

  $\sum\limits_{\substack{i=3^k}}^{2\times3^k-1}{(-1)^{i+1}U_i}=\sum\limits_{\substack{j=0}}^{\times3^k-1} (-1)^{j+3^k+1}{10^k+U_j}=\sum\limits_{\substack{j=0}}^{\times3^k-1}{(-1)^{j+3^k+1} 10^k}+\sum\limits_{\substack{j=0}}^{\times3^k-1}{(-1)^{j+3^k+1} U_j}=10^k-\sum\limits_{\substack{j=0}}^{\times3^k-1}{(-1)^{j+1} U_j}=10^k-A_k$

  En posant $j=i-2\times3^k$, on a aussi :

  $\sum\limits_{\substack{i=2\times 3^k}}^{m}{(-1)^{i+1} U_i}=\sum\limits_{\substack{j=0}}^{n} {(-1)^{j+2\times3^k+1} 2\times10k + U_j}=\sum\limits_{\substack{j=0}}^{n}{(-1)^{j+1} 2\times 10k} + \sum\limits_{\substack{j=0}}^{n}{(-1)^{j+1} U_j}= -2\times10^k-\dfrac{U_n}{2}$

  Par conséquent, $S_m=A_k+10^k-A_k-2\times 10^k-\dfrac{U_n}{2}=-10^k-\dfrac{U_n}{2}=-\dfrac{2\times10^k+U_n}{2}=-\dfrac{U_m}{2}$

  Finalement, on a $P_n$ pour tout entier naturel $n$. $2022=U_{31}$ car $3^3+3^1=27+3+1=31$.
  $2022$ s’écrit uniquement avec des chiffres parmi $0$ ou $2$ donc $S_n=-\dfrac{2022}{2}=-1011$

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• Octobre 2022, 1er défi

  le 9 octobre 2022 à 22:34, par pogarreau

  Cette somme de nombre en base 3 revient en base 10 à sommer pour k variant de 1 à 62 les nombres -k (-1)^k.
  En discernant les termes positifs des négatifs, on a :
  (1+2+3+4+...+60+61+62) - 2 (2+4+..60+62) = (62*63/2) - 2² (1+2+..+30+31)
  = 31*63 - 2*31*32 = 31 (63-64) = -31
  En base 3, -31 donne -1011 qui est le résultat cherché.

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• Octobre 2022, 1er défi

  le 9 octobre 2022 à 23:05, par pogarreau

  Bon mon truc ne tient pas la route mais ca marche. Reste à comprendre pourquoi ;-)

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• Octobre 2022, 1er défi

  le 15 octobre 2022 à 19:13, par Niak

  Amusant, le raisonnement ne tient en effet pas, mais cela marche quand même pour tous les rangs pairs !

  Soit $P_n$ le polynôme dont les coefficients sont les chiffres de l’écriture de $n$ en base $3$ (e.g. $P_5 = x+2$ pour $12$, $P_{62} = 2x^3+2x+2$ pour $2022$). Soit $S_n = \sum (-1)^{n+1} P_n$, polynôme de degré au plus celui de $P_n$. Vous avez calculé $S_{62}(3) = -31$ ($31$ paires de termes consécutifs de somme $-1$) et remarqué que ses chiffres en base $3$ sont les mêmes que ceux de $S_{62}(10) = -1011$ (la réponse attendue). Car en effet on peut calculer $S_{62} = -(x^3+x+1)$ et, pour tout entier $b\geq2$, $b^3+b+1$ s’écrit $1011$ en base $b$.

  Sans démonstration (je n’ai pas d’argument très simple, mais on peut partir de la périodicité évidente « $0^{3^k} 1^{3^k} 2^{3^k}$ » du coefficient en $x^k$ des $P_n$ pour étudier celui des $S_n$), les coefficients des $S_n$ sont toujours dans $\{-2,-1,0,1,2\}$ et sont de plus tous négatifs si $n$ est pair. Votre observation est donc vraie pour tout rang pair.

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• Octobre 2022, 1er défi

  le 15 octobre 2022 à 19:23, par Niak

  Oups, je voulais bien sûr écrire $S_n = \sum_{i=0}^n (-1)^{i+1} P_i$.

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• Octobre 2022, 1er défi

  le 10 octobre 2022 à 15:53, par Celem Mene

  Je me suis demandé, en voyant la somme finale : -1011, s’il y avait un moyen d’éviter de nombreux calculs. J’ai donc disposé les valeurs de la façon suivante (j’omets volontairement les nombres inférieurs à 100, pour l’instant) :

  100 -200 1000 -1100 1200 -2000

  • 101 201 -1001 1101 -1201 2001
    ... (5 lignes)
  • 121 221 -1021 1121 -1221 2021
    122 -222 1022 -1122 1222 -2022

  Les sommes des lignes font alternativement -1000 et 1000 et s’annulent donc par paires. La neuvième et dernière ligne totalise donc -1000.

  Reste à ajouter les nombres inférieurs à 100, ignorés jusque-là : 1 - 2 10 ... -22, dont la somme est -11.

  • 1000 -11 = -1011.

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• Octobre 2022, 1er défi

  le 12 octobre 2022 à 10:52, par Celem Mene

  Tiens, des ’-’ ont été perdus, en débuts de lignes, à l’édition.

  Il faut lire -101, -121 et, en dernière ligne, -1000, bien sûr.

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