Un défi par semaine

Octobre 2022, 2e défi

Le 14 octobre 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 41

J’ai autant de sœurs que de frères et chacune de mes sœurs
a deux fois moins de sœurs que de frères. Combien sommes-nous dans la fratrie ?

Solution du 1er défi d’octobre 2022 :

Enoncé

La réponse est : $-989$.

Commençons par calculer la somme alternée des nombres à un et deux chiffres de la liste :

\[S=1-2+10-11+12-20+21-22=-11.\]

Nous allons calculer des sommes alternées partielles en fonction de $S$. Considérons maintenant les nombres entre 100 et 199. Leur somme alternée est :

\[ \begin{array} {ll} 100-101&+102-110+111-112+120-121+122 \\ & = (100-100+\cdots +100)-S\\ & = 100-S. \end{array} \]

De même, nous avons :

\[ \begin{array} {ll} -200+201&-202+210-211+212-220+221-222 \\ &= -200+S\\ 1000-1001&+1002-1010+1011-1012+1020-1021+1022 \\ & = 1000-S\\ -1100+1101&-1102+1110-1111+1112-1120+1121-1122 \\ & = -1100+S\\ 1200-1201&+1202-1210+1211-1212+1220-1221+1222\\ & = 1200-S\\ -2000+2001&-2002+2010-2011+2012-2020+2021-2022 \\ & = -2000+S. \end{array} \]

La valeur de la somme alternée de toute la liste est donc égale à :
\[ \begin{array} {ll} S+100-S&-200+S+1000-S-1100+S+1200-S-2000+S\\ &= S-1000=-989. \end{array} \]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2022, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Octobre 2022, 2e défi

    le 14 octobre 2022 à 07:41, par Al_louarn

    La solution donnée pour le défi de la semaine dernière est fausse. La somme alternée partielle est bien $S=-11$ et la somme alternée totale est bien $S - 1000$, mais $S - 1000 = -11 - 1000 = -1011$ et non $-989$.

    Répondre à ce message
  • Octobre 2022, 2e défi

    le 14 octobre 2022 à 08:08, par Al_louarn

    Il y a $s$ soeurs et $f$ frères. Le narrateur est un frère car il n’a pas la même proportion de frères et de soeurs qu’une soeur. Donc ses affirmations se traduisent par :
    $s=f-1$
    $2(s-1)=f$
    D’où $2(f-1-1)=f$, puis $2f-4=f$ et $f=4$. Alors $s=3$ et donc $f+s=7$.

    Répondre à ce message
    • Octobre 2022, 2e défi

      le 14 octobre 2022 à 09:14, par claude

      Peu importe que le narrateur soit un garçon ou une fille.

      • J’ai autant de frère que de soeurs, se traduit par :
        x garçons + x filles + moi =
        (2x+1) enfants
        Chaque soeur a 2 fois moins de soeurs que de frères, se traduit par :
        (x-1)filles+ 2(x-1) garçons+1fille= x-12+1=(3x-2) enfants
        Donc 2x+1=3x-2 d’où x=3
        Et 2x+1 (nbre d’enfants)=7
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      • Octobre 2022, 2e défi

        le 14 octobre 2022 à 12:08, par François

        Si moi est une fille, votre équation
        (x-1)filles+ 2(x-1) garçons+1fille= x-1�2+1=(3x-2) enfants
        devient puisque la sœur qui parle a x sœurs
        x filles + 2x garçons +1 fille = 3x+1 enfants
        donc 2x+1= 3x+1 et x=0 . Moi est enfant unique et l’énoncé n"a plus grand sens donc moi est un garçon et votre équation est vérifiée.

        Répondre à ce message

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