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Un défi par semaine

Octobre 2014, 2ème défi

Le 10 octobre 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 41 :

Si le périmètre d’un triangle rectangle mesure $40\, cm$ et la somme des carrés des longueurs de ses trois côtés est $578$, combien de centimètres mesure son plus petit côté ?

Solution du 1er défi d’Octobre

Enoncé

La réponse est $F=2$.

Observons que $E=1$, puisque $ABCD\times E=ABCD.$ De plus, $D$ vérifie que $D^{2}$ se termine par le même chiffre que $D$. Ceci implique que $D$ est égal à $0$, $1$, $5$ ou $6$. Si $D=0$ on a $ABCD\times D=0$ ce qui n’est pas possible. Comme $E=1$, $D\neq 1$. Si $D=5$, $5C+2$ doit se terminer par $1$, ce qui est impossible. Donc $D=6,$ et on sait que $6C+3$ se termine par $1$, ce qui implique que $C$ est égal à $3$ ou $8$. Par ailleurs, $I=D+E=7$.

Si $C=8$, on a $6C+3=51$. Dans la colonne suivante on obtient $6B+5$ qui se termine par $6$, ce qui est impossible. Donc, $C=3$, ce qui implique que $H=9$. Finalement, comme $6B+2$ se termine par $6$, $B$ est égal à $4$ ou $9$, et comme le $9$ a déjà été utilisé, $B=4$. Par conséquent, $A=5$, $F=2$ et $G=8$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2014, 2ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Un polytope de Schläfli, par Jos Leys.

Commentaire sur l'article

  • Octobre, 2ème défi

    le 10 octobre 2014 à 08:52, par André Perrenoud

    Bonjour,
    Le plus petit côté mesure 8 cm

    Les autres 17 et 23

    Bonne fin de semaine

    Répondre à ce message

  • Octobre, 2ème défi

    le 10 octobre 2014 à 09:48, par gedspilett

    Bonjour

    hypoténuse : 17 cm (racine carrée de 578/2 )

    coté opposé (petit coté) : 8 cm

    coté adjacent : 15 cm

    bye

    Répondre à ce message

  • Octobre, 2ème défi

    le 11 octobre 2014 à 17:12, par ROUX

    Bon, je l’avais avec un gros bastringue de calculs... Existerait-il une construction géométrique pour arriver au résultat ?

    Appel à peine voilé à Daniate...

    Répondre à ce message

    • Octobre, 2ème défi

      le 14 octobre 2014 à 08:46, par Daniate

      Bonjour, je doute fortement qu’il existe une construction géométrique pure, mais avec quelques calculs préalables et un repère orthonormal on peut construire le triangle cherché.

      Soient x < y les mesures des côtés de l’angle droit . On arrive, grâce à notre vieux camarade Pythagore à x²+y²=17² (équation d’un cercle de centre l’origine et de rayon 17) puis à x+y=23 (équation d’une droite passant par (23,0) et par (0,23).

      Le point A d’intersection le plus proche de l’axe des ordonnées donne la solution. Il reste à le projeter orthogonalement sur l’axe des abscisses en B . Le triangle OAB est le triangle cherché.

      Sur la figure on "voit" que x=8 mais il reste à le démontrer. Il suffit de vérifier que x=8 et y=15 est bien solution (simple calcul sans équation). L’unicité est assurée car une droite et un cercle ont au maximum 2 points d’intersection, or pour l’autre point on a x>y .

      Il n’en reste pas moins que se lancer dans une équation du second degré est la méthode la plus rapide.

      Répondre à ce message

      • Octobre, 2ème défi

        le 14 octobre 2014 à 09:23, par ROUX

        Merci beaucoup !

        Comme je ne recherche pas la rapidité mais le contrepié (licence poétique pour assurer une rime audio-visuelle) qui consiste à résoudre un problème de calculs avec des tracés et un problème de tracés avec des calculs, et bien votre solution me ravit !!!

        Encore merci (et donc, toujours gourmand de vous lire !!!).

        Répondre à ce message

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