Un défi par semaine

Octobre 2014, 3ème défi

El 17 octubre 2014  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (6)
Leer el artículo en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 42 :

Trouver six nombres entiers positifs consécutifs non divisibles par $7$ dont la somme soit un carré parfait de quatre chiffres.

Solution du 2ème défi d’Octobre

Enoncé

La réponse est $8$ cm.

Soient $a$ et $b$ les longueurs des cathètes du triangle en centimètres. En appliquant le théorème de Pythagore on sait que son hypoténuse mesure $\sqrt{a^2+b^2}$. Par conséquent, la somme des carrés des trois côtés est égale à $2a^2+2b^2=578$, et $a^2+b^2=289=17^2$. L’hypoténuse du triangle mesure donc $17\,cm$. Comme le périmètre mesure $40\,cm$, on obtient que $a+b+17=40$ cm, soit $a+b=23$ cm. Alors, $2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=23^2-289=240$,
d’où $ab=120$. On en déduit que

$a(23-a) = 120$

$a^2-23a+120 = 0$

$(a-8)(a-15) = 0.$

Par conséquent, les cathètes du triangle mesurent $8$ cm et $15$ cm et plus petit côté du triangle mesure $8$ cm.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Octobre 2014, 3ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Un polytope de Schläfli, par Jos Leys.

Comentario sobre el artículo

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Octobre, 3ème défi

    le 20 de octubre de 2014 à 00:13, par Daniate

    Quelques remarques, qui n’ont d’autre but que de vous aider.

    1. 6n+15=3(2n+5)

    2. Qu’appelez-vous N ?

    3. Votre conjecture est fausse:par exemple 36 qui est divisible par 3 (et bien sur par 9) est le carré de 6 qui n’est pas divisible par 9.

    4. Les multiples de 7 allant de 7 en 7 pour avoir 6 nombres consécutifs non divisibles par 7 il faut qu’ils soient encadrés par 2 multiples consécutifs de 7, ils s’écrivent donc 7n+1; 7n+2; .... 7n+6 et vous découvrirez que leur somme est par contre divisible par 7 (et même par 21)

    Vous pouvez maintenant repartir sur des bases plus saines et nécessitant moins de calculs.

    Répondre à ce message

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.