Un défi par semaine

Octobre 2014, 3ème défi

Le 17 octobre 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 42 :

Trouver six nombres entiers positifs consécutifs non divisibles par $7$ dont la somme soit un carré parfait de quatre chiffres.

Solution du 2ème défi d’Octobre

Enoncé

La réponse est $8$ cm.

Soient $a$ et $b$ les longueurs des cathètes du triangle en centimètres. En appliquant le théorème de Pythagore on sait que son hypoténuse mesure $\sqrt{a^2+b^2}$. Par conséquent, la somme des carrés des trois côtés est égale à $2a^2+2b^2=578$, et $a^2+b^2=289=17^2$. L’hypoténuse du triangle mesure donc $17\,cm$. Comme le périmètre mesure $40\,cm$, on obtient que $a+b+17=40$ cm, soit $a+b=23$ cm. Alors, $2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=23^2-289=240$,
d’où $ab=120$. On en déduit que

$a(23-a) = 120$

$a^2-23a+120 = 0$

$(a-8)(a-15) = 0.$

Par conséquent, les cathètes du triangle mesurent $8$ cm et $15$ cm et plus petit côté du triangle mesure $8$ cm.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2014, 3ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Un polytope de Schläfli, par Jos Leys.

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Octobre, 3ème défi

    le 20 octobre 2014 à 00:13, par Daniate

    Quelques remarques, qui n’ont d’autre but que de vous aider.

    1. 6n+15=3(2n+5)

    2. Qu’appelez-vous N ?

    3. Votre conjecture est fausse:par exemple 36 qui est divisible par 3 (et bien sur par 9) est le carré de 6 qui n’est pas divisible par 9.

    4. Les multiples de 7 allant de 7 en 7 pour avoir 6 nombres consécutifs non divisibles par 7 il faut qu’ils soient encadrés par 2 multiples consécutifs de 7, ils s’écrivent donc 7n+1 ; 7n+2 ; .... 7n+6 et vous découvrirez que leur somme est par contre divisible par 7 (et même par 21)

    Vous pouvez maintenant repartir sur des bases plus saines et nécessitant moins de calculs.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?