Un défi par semaine

Octobre 2014, 4ème défi

Le 24 octobre 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 43 :

Les racines de l’équation quadratique $x^2+px+q=0$ sont entières. Si $p+q=198$, quelles sont les valeurs possibles de la paire $(p,q)$ ?

Solution du 3ème défi d’Octobre

Enoncé

La réponse est $~659$, $660$, $661$, $662$, $663$ et $~664$.

Comme aucun des six entiers positifs consécutifs n’est divisible par $7$, ceux-ci sont de la forme $7n+1$, $7n+2$, $\dots$, $7n+6$, avec $n$ un entier positif quelconque. Leur somme est $S=42n+21=21(2n+1)$. Pour que $S$ soit un carré parfait, on doit
avoir $2n+1=21k^2$ où $k$ est un nombre impair. Pour que $S$ soit un nombre à quatre chiffres, on doit avoir les inégalités suivantes $1000\leq 21^2k^2\leq 9999$, d’où $2 < k^2 < 23$. Ceci n’est possible que si $k^2=9$. Donc $2n+1=21k^2=189$ et $n=94$.

Par conséquent, les nombres recherchés sont : $659$, $660$, $661$, $662$, $663$ et $664$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2014, 4ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Un polytope de Schläfli, par Jos Leys.

Commentaire sur l'article

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  • Octobre, 4ème défi

    le 25 octobre 2014 à 23:03, par Creux

    Si mon commentaire a été perçu comme une attaque, je vous prie de m’en excuser, ce n’était pas ma volonté. D’où les guillemets.

    Je trouvais les solutions « triviales » pour le cas présenté.
    Mais, bien entendu, cette impression est subjective.

    Répondre à ce message

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