Un desafío por semana

Octubre 2018, cuarto desafío

El 26 octubre 2018  - Escrito por  Ana Rechtman
El 26 octubre 2018
Artículo original : Octobre 2018, 4e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes, y su solución a la semana siguiente. No habrá edición del calendario 2018 en papel, ¡tendremos que esperar para la edición 2019!

Semana 43:

Las raíces de la ecuación cuadrática $x^2+px+q=0$ son enteras. Si $p+q=198$, ¿cuáles son los valores posibles del par $(p,q)$?

Solución del tercer desafío de octubre:

Enunciado

La respuesta es: $659$, $660$, $661$, $662$, $663$ y $664$.

Como ninguno de los enteros consecutivos es divisible por $7$, estos son de la forma $7n+1$, $7n+2$, $\dots$, $7n+6$, con $n$ un entero positivo cualquiera. Su suma es
$S=42n+21=21(2n+1)$.

Para que $S$ sea el cuadrado de un número entero, debemos tener $2n+1=21k^2$ donde $k$ es un número impar.

Para que $S$ sea un número de cuatro dígitos, debemos tener las siguientes desigualdades: $1000\leq 21^2k^2\leq 9999$, de donde $2 < k^2 < 23$.

Esto solo es posible si $k^2=9$. Luego $2n+1=21k^2=189$ y $n=94$. Por lo tanto, los números buscados son: $659$, $660$, $661$, $662$, $663$ y $664$.

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Para citar este artículo:

— «Octubre 2018, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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