Un desafío por semana

Octubre 2018, segundo desafío

El 12 octubre 2018  - Escrito por  Ana Rechtman
El 12 octubre 2018
Artículo original : Octobre 2018, 2e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes, y su solución a la semana siguiente. No habrá edición del calendario 2018 en papel, ¡tendremos que esperar para la edición 2019!

Semana 41:

Determinar el menor entero $n$ para el cual
\[(2^2-1)(3^2-1)(4^2-1)\cdots (n^2-1)\]
es el cuadrado de un número entero.

Solución del primer desafío de octubre:

Enunciado

La respuesta es: $8\,cm$.

Sean $a$ y $b$ los largos de los catetos del triángulo en centímetros. Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos que la hipotenusa mide $\sqrt{a^2+b^2}$. Por lo tanto, la suma de los cuadrados de los tres lados es igual a $2a^2+2b^2=578$, por lo que $a^2+b^2=289=17^2$.

Luego, la hipotenusa del triángulo mide $17\,cm$. Como el perímetro mide $40\,cm$, obtenemos que $a+b+17=40\,cm$, es decir, $a+b=23\,cm$. Entonces, $2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=23^2-289=240$, de donde $ab=120$.

Deducimos que
\[ \begin{eqnarray} a(23-a) & = & 120\\ a^2-23a+120 & = & 0\\ (a-8)(a-15) & = & 0. \end{eqnarray} \]

Por lo tanto, los catetos del triángulos miden $8\,cm$ y $15\,cm$, por lo que el lado más pequeño del triángulo mide $8\,cm$.

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Para citar este artículo:

— «Octubre 2018, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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