Un défi par semaine

Octubre 2019, primer desafío

El 4 octubre 2019  - Escrito por  Ana Rechtman
El 4 octubre 2019
Artículo original : Octobre 2019, 1er défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia)!

Semana 40

―Siempre le he llevado $45$ años a tu papá ―dice una abuelita a su nietecito―, pero hoy, los dos dígitos de mi edad son exactamente los mismos que los de la edad de tu papá. Además, ¡nuestras edades son ambas divisibles por $9$!

¿Cuántos años tiene la abuelita?

Solución del cuarto desafío de septiembre:

Enunciado

La solución es $19$.

Construyamos los primeros términos de la secuencia:
\[ \begin{align*} X_3 &= [X_2, X_1] + X_1\\ &= [95,19] + 19 = [19\times 5, 19] + 19\\ &= 19\times 5 + 19 = 19\times 6,\\ X_4 &= [X_3,X_2] + X_2\\ &= [19\times 6,19\times 5] + 19\times 5\\ &= 19(6\times5 + 5) = 19\times35,\\ X_5 &= [X_4,X_3] + X_3\\ &= [19\times 35,19\times 6] + 19\times 35\\ &= 19 (35\times 6+35) = 19\times 245. \end{align*} \]

Haciendo $X_n = 19 Y_n$, obtenemos $Y_1 = 1$ y $Y_2 = 5$. Por inducción, vemos que $Y_n$ y $Y_{n+1}$ son primos entre ellos.

Tenemos que
$[Y_n,Y_{n+1}] = Y_n\times Y_{n+1}$. Por lo tanto:
\[ \begin{align*} X_{n+2} &= [X_{n+1},X_n] + X_n\\ &= [19Y_{n+1}, 19Y_n] + 19 Y_n\\ &=19 Y_n\times Y_{n+1} + 19 Y_n\\ &= 19 Y_n(Y_{n+1}+1). \end{align*} \]

Por consiguiente, $Y_{n+2} = Y_n (Y_{n+1}+1)$. Entonces el máximo común divisor de $Y_{n+2}$ e $Y_{n+1}$ es $(Y_{n+2},Y_{n+1}) = (Y_n (Y_{n+1}+1),Y_{n+1}) = 1$. El máximo común divisor de $X_{2018}$ y $X_{2019}$ es $19$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2018, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2019 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Octubre 2019, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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