Enunciado

Calculemos los primeros términos de la sucesión : $t_1 = 1$, $t_2 = 1$, $t_3 = 0$, $t_4 = \frac{1}{3}$, $t_5 = 0$ y $t_6 = \frac{1}{5}$.

Si $n$ es impar, lo podemos escribir de la forma $n = 2k+1$, con $k\geq 1$.
\[ \begin{align*} t_{2k+1} &= \biggl(\frac{2k-2}{2k}\biggr) t_{2k-1}\\ &= \biggl(\frac{2k-2}{2k}\biggr) \biggl(\frac{2k-4}{2k-2}\biggr) t_{2k-3}\\ &\phantom{{}={}}\llap{\vdots~~}\\ &= \biggl(\frac{2k-2}{2k}\biggr) \biggl(\frac{2k-4}{2k-2}\biggr) \cdots \biggl(\frac{2}{4}\biggr) t_3 = 0. \end{align*} \]

De este modo vemos que si $n > 1$ es impar, entonces $t_n = 0$.

Ahora ocupémonos de cuando $n$ es par. Lo podemos escribir entonces de la forma $n = 2k$ con $k > 1$, y así :
\[ \begin{align*} t_{2k} &= \biggl(\frac{2k-3}{2k-1}\biggr) t_{2k-2}\\ &= \biggl(\frac{2k-3}{2k-1}\biggr) \biggl(\frac{2k-5}{2k-3}\biggr) t_{2k-4}\\ &\phantom{{}={}}\llap{\vdots~~}\\ &= \biggl(\frac{2k-3}{2k-1}\biggr) \biggl(\frac{2k-5}{2k-3}\biggr) \biggl(\frac{2k-7}{2k-5}\biggr)\cdots \biggl(\frac{1}{3}\biggr) t_2\\ &= \frac{1}{2k-1}. \end{align*} \]

Si $n$ es par, obtenemos entonces que $t_n = \frac{1}{n-1}$.

Por lo tanto, $t_{2020} = \frac{1}{2019}$.