Un desafío por semana

Octubre 2021, cuarto desafío

Le 22 octobre 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 22 octobre 2021
Article original : Octobre 2021, 4e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 42

Sean $a, b$ y $c$ números enteros positivos tales que $a+b+c = 12$. ¿Cuál es el valor máximo de $abc + ab + bc + ac$ ?

Solución del tercer desafío de octubre :

Enunciado

Puesto que en una cara están los vértices $1, 2, 6$ y $7$, mientras que en otra se encuentran $1, 2, 5$ y $8$, los vértices $1$ y $2$ forman una de las aristas del cubo. Análogamente, los vértices $1$ y $6$ forman otra arista, ya que se encuentran sobre las caras $\{\, 1,2,6,7 \,\}$ y $\{\, 1,4,6,8 \,\}$. También tenemos una arista cuyos extremos son los vértices $1$ y $8$, porque están en las caras $\{\, 1,4,6,8 \,\}$ y $\{\, 1,2,5,8 \,\}$.

Podemos entonces dibujar el cubo y los vértices $1, 2, 6$ y $8$ como sigue, salvo por alguna simetría o rotación de diferencia :

PNG - 20.7 ko

Puesto que una cara posee los vértices $1, 2$ y $6$, su cuarto vértice es $7$. Para otra cara con los vértices $1, 6$ y $8$ el último es $4$. Igualmente, en la cara delimitada por los vértices $1, 2$ y $8$ se encuentra el $5$.

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Así pues, podemos concluir que el vértice más alejado del $6$ es el $5$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2021 — Bajo la dirección de Ana Rechtman.

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Pour citer cet article :

— «Octubre 2021, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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