Un desafío por semana

Octubre 2021, quinto desafío

Le 29 octobre 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 29 octobre 2021
Article original : Octobre 2021, 5e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 43

¿De cuántas maneras podemos colorear los ocho vértices de un cubo con ocho colores distintos ? Cada vértice debe tener un color diferente, y todas las configuraciones que difieran por una rotación deben ser contadas una sola vez.

Solución del cuarto desafío de octubre :

Enunciado

Observemos que
\[ \begin{align*} (a+1)(b+1)(c+1) &= abc + ab + bc + ac + a + b + c + 1 \\ &= abc + ab + bc + ac + 13. \end{align*} \]

Tenemos entonces que $abc + ab + bc + ac = (a+1)(b+1)(c+1) - 13$.

Veamos ahora cómo obtener el valor más grande de $(a+1)(b+1)(c+1)$.

Utilizando la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica para los números positivos $a+1, b+1$ y $c+1$, tenemos que
\[ 5 = \frac{(a+1) + (b+1) + (c+1)}{3} \geqslant \sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}. \]

Así pues, el valor máximo de $(a+1)(b+1)(c+1)$ es igual a $125$, que acaece cuando $a = b = c = 4$.

Finalmente
\[ abc + ab + bc + ac = 125 - 13 = 112. \]

Post-scriptum :

Calendario matemático 2021 — Bajo la dirección de Ana Rechtman.

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Pour citer cet article :

— «Octubre 2021, quinto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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