C’est l’été, les papillons battent des ailes, voltigent de fleur en fleur. Pas mal de papillons battent des ailes dans les mathématiques et voltigent de lemme en problème.

Portrait de ces lépidoptères familiers des mathématiques et des mathématiciens.

Cahier de vacances

Ces êtres légers et populaires sont instrumentalisés dans des sujets d’exercices pour élèves d’écoles élémentaires, comme celui-ci :

Deux papillons butinent vingt fleurs en deux minutes, combien de fleurs trois papillons butinent-ils en trois minutes [1] ?

Le « théorème du papillon » (cahier de brouillons)

Ce papillon-là a déjà été évoqué dans ce portrait. Je vous livre ici un scoop authentique : une photographie du cahier de brouillons d’un·e mathématicien·ne qui s’apprête à chercher le problème [2]. C’est un problème de géométrie « élémentaire » (au sens où son énoncé ne fait intervenir que des notions élémentaires — c’est déjà la troisième fois que j’utilise le mot « élémentaire » dans cet article...). Le voici (voir la figure) : AB est une corde d’un cercle et M est le milieu de AB. On trace deux autres cordes PQ et RS passant par M. Les droites PR et QS coupent AB en C et D. Le théorème affirme (et c’est ce qu’il faut démontrer) que M est le milieu de CD.

Je vous propose d’essayer un peu... juste pour vous rendre compte que ce n’est pas si facile que ça en a l’air [3].

Des équations

On trouve même ici ou là la « formule » du papillon. À celles et ceux qui aiment les formules, je dédie celles-ci

\[x(t)=\sin 5t\cos t\qquad y(t)=\sin 5t\cos 4t\]

qui décrivent une courbe qui ressemble, si on a un peu d’imagination, à un papillon. Et aussi un peu à la figure ci-contre, que j’ai tracée à main levée (parce que ceci permet de tricher pour accentuer tel ou tel aspect que l’on trouve important)... sur mon ordinateur.

Le lemme du papillon de Zassenhaus

Un théorème d’algèbre porte aussi le nom de papillon, précisément, de « lemme du papillon de Zassenhaus [4] ».

Je vous assure que l’on peut apprécier la beauté d’une formule, d’un diagramme, sans en comprendre tous les détails. Ce lemme-là est un bel exemple de ce fait-ci [5]. Il y a des objets appelés A, B, C, D, et leurs relations sont décrites par le beau diagramme :

Évidemment, on peut l’énoncer avec des mots, A et C sont des sous-groupes de G, B est un sous-groupe distingué de A et D de C, alors... bon j’arrête.

La vedette

De tous les papillons mathématiques, le plus médiatisé est celui qui illustre le fait qu’une petite cause (le battement d’ailes, ici, de notre lépidoptère) peut produire de grands effets (une tornade, loin). Le titre célèbre d’une conférence de Lorenz en 1973 était :

Le battement des ailes d’un papillon au Brésil peut-il provoquer un ouragan au Texas ?

Je renvoie les lecteurs à l’article d’Étienne Ghys consacré au célèbre « effet papillon » de Lorenz. Il y explique comment une toute petite modification des « conditions initiales » (comme le délicat battement d’ailes de notre papillon) peut entraîner des conséquences aussi énormes que tornades ou ouragans. Il illustre cette explication par une belle image, que je reproduis ici sans y toucher...

...et dont l’étrange ressemblance avec un papillon n’aura échappé à personne...

Un dernier commentaire : ce battement d’ailes a été tellement médiatisé qu’il est cité et évoqué à tort et à travers, comme le signale Fred Vargas dans son dernier livre [6] : un des personnages parle d’un battement d’ailes à New York qui provoquerait une explosion à Bangkok, il est rappelé à l’ordre :

— C’est au Brésil que le papillon bat de l’aile, et c’est au Texas qu’a lieu la tornade.

— Cela change quelque chose, Danglard ?

— Oui. À force de s’éloigner des mots, les théories les plus pures tournent aux racontars. Et l’on ne sait plus rien. D’approximation en inexactitude, la vérité se dissout et la place est faite à l’obscurantisme.

Le logo de l’article

Après tous ces papillons rouges, venons-en au papillon bleu qui sert de logo à cet article. C’est peut-être le plus mathématicien de tous les papillons.

Ce logo est, en effet, aussi celui du Centre de mathématiques Laurent Schwartz de l’École polytechnique [7]. Ce centre de mathématiques a été créé par le mathématicien Laurent Schwartz (1915—2002).

Certains mathématiciens ont des violons d’Ingres, qui sont d’ailleurs assez souvent des violons ou d’autres instruments de musique, mais qui peuvent être plus variés.

Par exemple, les papillons. La chasse aux papillons et leur collection ont tenu une grande place parmi les nombreuses activités de Laurent Schwartz [8]. Il les a pratiquées de façon aussi professionnelle que les mathématiques. Il a d’ailleurs chassé les papillons partout où il a fait des mathématiques — ce qui inclut un certain nombre de papillons brésiliens...

Je me souviens, lorsque j’étais étudiante, des fascicules du séminaire Goulaouic-Schwartz, à l’École polytechnique, dont la couverture s’ornait, à chaque séance, d’un nouveau papillon. Ce séminaire s’appelle aujourd’hui Séminaire Laurent Schwartz — EDP et applications, n’hésitez pas à cliquer sur ces mots rouges !

Bon, assez papillonné, au travail maintenant !