Petits arrangements
Regroupements par paires
Piste bleue Le 26 avril 2016 Voir les commentaires (9)Lire l'article en


Beaucoup de problèmes mathématiques peuvent être résolus à l’aide d’un partage astucieux des éléments de l’ensemble étudié en plusieurs parties. La série de trois articles que nous vous proposons est consacrée à cette idée importante. Le premier article porte sur des partages très simples : les regroupements par paires.
Dans un deuxième article, nous verrons que le regroupement par paires peut être utilisé pour comparer le nombre d’éléments de deux ensembles.
Enfin dans un troisième article, nous utiliserons des arrangements d’objets en groupes qui ne sont pas forcément des paires.
Les solutions des problèmes de l’article sont dans des blocs dépliants,
pour vous donner la possibilité d’essayer de résoudre ces problèmes
vous-mêmes.
Il est fortement conseillé de lire les solutions
avant de poursuivre la lecture de l’article.
(Rediffusion d’un article publié le 8 mai 2013).
Peut-on recouvrir un échiquier de
9 × 9 cases par des dominos en sorte que chaque domino couvre deux cases et que les dominos ne se chevauchent pas ?

L’observation principale utilisée dans la solution du problème 1 est la suivante : si certains objets peuvent être regroupés par paires, alors le nombre d’objets considérés est pair. Cette idée nous aidera à résoudre aussi le problème suivant.
La petite sœur de Laure a choisi un nombre entier strictement positif $N$ et a fait une liste de tous ses diviseurs positifs (y compris 1 et $N$). Elle dit à Laure que le nombre de diviseurs positifs de $N$ est impair. Laure affirme alors que
le nombre $N$ est forcément le carré d’un nombre entier.
Laure a-t-elle nécessairement raison ?
Essayez maintenant de résoudre encore deux problèmes en utilisant la même idée.
Le numéro d’un ticket est composé de 6 chiffres (il peut commencer par un ou plusieurs zéros). Un tel numéro est dit chanceux si la somme de ses trois premiers chiffres est égale à la somme de ses trois derniers chiffres. Montrez que le nombre de numéros chanceux est pair.

Dans une école de cuisine, il y a 100 élèves. Tous les matins, le directeur de l’école désigne une équipe de trois élèves qui doit préparer le déjeuner pour toute l’école. À un certain moment, le directeur de l’école affirme que tout élève de l’école a fait équipe avec tout autre élève exactement une fois. Montrez que le directeur se trompe.
Passons maintenant à des problèmes un peu plus compliqués.
La grande diagonale $D$ relie l’angle en bas à gauche à l’angle en haut à droite d’un tableau de 25 × 25 cases. Dans chaque case du tableau, on a placé un des nombres 1, 2, … , 25 de telle façon que :
- deux cases quelconques symétriques par rapport à $D$ contiennent des nombres égaux ;
- dans chaque ligne du tableau, tous les nombres soient deux à deux distincts.
Montrez que tous les nombres placés dans les cases de la grande
diagonale $D$ sont deux à deux distincts.
Remarquons que, dans la solution du problème 5, le regroupement par paires concerne seulement une partie des nombres placés dans le tableau (les nombres placés en dehors de la grande diagonale $D$). Voici encore quelques problèmes dont la solution utilise la même idée.
Plusieurs petits cubes de même taille sont collés entre eux. Tous les recollements se font entre faces entières de petits cubes. Est-ce que la surface de l’objet obtenu peut être composée de 2013 faces de petits cubes ?
Vingt et un pions sont placés dans certaines cases d’un damier de 9 × 9 cases (au plus un pion par case) de telle façon que l’ensemble des pions soit symétrique par rapport à chacune des deux diagonales du damier. Montrez qu’un pion est placé dans la case centrale du damier.
L’idée de regroupement par paires peut aussi être utilisée dans d’autres contextes (pas forcément pour montrer que le nombre d’objets considérés est pair).
Cent pièces de monnaie, parmi lesquelles il n’y a que des pièces de 1 ou 2 euros, sont alignées sur une table. La valeur totale de ces cent pièces est strictement supérieure à 150 euros. Montrez que, parmi ces pièces de monnaie, on peut trouver deux pièces voisines de 2 euros.

Cent personnes sont assises et régulièrement réparties autour d’une table ronde. Parmi ces cent personnes, les femmes sont plus nombreuses que les hommes. Montrez que, à cette table, on peut trouver deux femmes assises l’une en face de l’autre.
Soit $p$ un nombre premier strictement supérieur à 2. Soient $m$ et $n$ deux nombres entiers tels que
\[
\frac{m}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{p - 1}\;.
\]
Montrer que le nombre $m$ est divisible par $p$.
Dans la solution du problème suivant, à nouveau, le regroupement par paires ne concerne qu’une partie des objets considérés.
Montrez que la somme de tous les numéros chanceux (voir le problème 3) est divisible par 13.
Problèmes à résoudre par vous-mêmes
Problème 1. Un polygone symétrique
Considérons un polygone qui a 101 sommets et un axe de symétrie.
Montrez que cet axe passe par au moins un sommet du polygone.
Problème 2. Divisible par 999
Montrez que la somme des numéros chanceux (voir les problèmes 3 et 11) est divisible par 999.
Problème 3. Trois diviseurs
Parmi les nombres entiers positifs ayant exactement trois diviseurs positifs chacun, trouvez le nombre le plus proche de 1000.
Problème 4. Tableau de 9 × 10 cases
Frédéric a mis les nombres entiers de 1 à 90 dans les cases d’un tableau rectangulaire composé de 9 lignes horizontales ayant chacune exactement 10 cases.
Chaque case du tableau contient un nombre, et chaque nombre entier entre 1 et 90 apparaît une fois dans le tableau. Frédéric affirme que deux cases quelconques
symétriques par rapport à l’axe de symétrie vertical du tableau contiennent des nombres de même parité. Montrez que Frédéric se trompe.
Problème 5. Mille lampes
Dans un couloir d’école, il y a mille lampes numérotées de 1 à 1000 avec un interrupteur au-dessous de chaque lampe. Un beau matin, toutes les lampes sont allumées. Le premier élève passe alors par le couloir en appuyant sur tous les interrupteurs. Toutes les lampes sont donc éteintes après son passage. Ensuite, le deuxième élève passe en appuyant sur les interrupteurs ayant un numéro pair. Ainsi il rallume une lampe sur deux. Le troisième élève passe en appuyant sur les interrupteurs dont le numéro est divisible par 3, le quatrième appuie sur les interrupteurs dont le numéro est divisible par 4, etc. Combien de lampes sont-elles allumées après le passage du millième élève ?
Les lecteurs sont invités à nous proposer leurs solutions des « Problèmes à résoudre par vous-mêmes ». Les solutions peuvent être rédigées comme commentaires sur l’article ou envoyées à l’adresse suivante :
ensortantdelecole images.math.cnrs.fr
Les meilleures solutions seront publiées dans la rubrique.
L’équipe de la rubrique remercie Nikita Itenberg pour les illustrations qu’il a faites pour cet article.
NDLR : Retrouvez les autres articles sur le sujet ici : II et III, et les autres articles de la rubrique : En sortant de l’école.
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Pour citer cet article :
Equipe de la rubrique « En sortant de l’école » — «Petits arrangements» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016
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Petits arrangements
le 1er août 2013 à 14:52, par Tino