Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?
Piste verte Le 10 avril 2015 Voir les commentaires (25)
Article traduit

Le texte qui suit, traduit par Patrick Popescu-Pampu, est paru initialement sur le blog de David Mumford. On y trouve le récit des efforts de son auteur et de John Tate, éminents mathématiciens, pour transmettre au public scientifique de la revue Nature quelques idées des contributions de Grothendieck aux mathématiques, ainsi que des considérations sur le gouffre actuel entre mathématiciens et autres scientifiques. Le comité de rédaction d’Images des Maths précise que si l’article a été classé en piste verte, c’est parce qu’il est possible de le lire en s’intéressant uniquement aux aspects humains présentés, sans connaissance préalable des notions techniques qui y sont mentionnées.
La revue Nature nous a demandé, à John Tate et à moi, d’écrire un article nécrologique sur Alexander Grothendieck. C’est l’un de mes héros, la personne parmi celles que j’ai connues
qui mérite le plus l’adjectif de « génie ». Je l’ai rencontré pour
la première fois lorsqu’il visita Harvard et que John, Shurik
(comme il était appelé) et moi dirigions un séminaire sur les
« Théorèmes d’existence ». Son dévouement pour les maths,
son dédain du comportement formel et des conventions, son
ouverture et ce que John et d’autres appellent sa naïveté
entrèrent en résonance avec moi.
Ainsi, John et moi avons accepté d’écrire la notice nécrologique
ci-dessous. Comme le lectorat de Nature est constitué presque
exclusivement de non-mathématiciens, il nous sembla que notre
défi était de rendre certaines parties essentielles du travail de
Grothendieck accessibles à une telle audience. Évidemment, la
définition même d’un schéma est centrale dans son travail, et
nous voulions aussi dire quelque chose d’authentique sur les
catégories et la cohomologie. Voici ce à quoi nous avons
abouti :
Alexander Grothendieck
(texte de David Mumford et John Tate)
Les mathématiques devinrent de plus en plus abstraites et
générales au fil du 20e siècle, et Alexander Grothendieck
fut le plus grand maître de cette tendance. Son grand talent
était d’éliminer toutes les hypothèses inutiles et de creuser
un thème si profondément que sa structure interne la plus
abstraite se révèle – puis, tel un magicien, de montrer comment
la solution de vieux problèmes en découlait de manière
directe, maintenant que leur nature véritable avait été révélée.
Son endurance et son intensité étaient légendaires. Il travaillait
pendant de longues heures, transformant totalement le
domaine de la géométrie algébrique et ses relations avec la
théorie algébrique des nombres. Il était considéré par de
nombreuses personnes comme le plus grand mathématicien du 20e siècle.
Grothendieck naquit à Berlin le 28 Mars 1928 d’un couple
d’activistes politiques anarchistes – un père juif russe,
Alexander Shapiro et une mère allemande protestante,
Johanna (Hanka) Grothendieck, et il eut une enfance
turbulente en Allemagne et en France, en échappant à
l’holocauste dans le village français de Le Chambon, connu
pour sa protection des réfugiés.
C’est là en pleine guerre,
au Collège Cévenol, que semble avoir surgi sa fascination pour les
mathématiques. Adulte, il vécut en France mais il resta
apatride (avec un « passeport Nansen ») pendant toute sa vie,
en accomplissant la plus grande partie de son travail
révolutionnaire pendant la période 1956-1970, à l’Institut
des Hautes Etudes Scientifiques (IHÉS) dans une banlieue
de Paris, après sa fondation en 1958. Il reçut la Médaille Fields
en 1966.
Son premier travail, stimulé par Laurent Schwartz et Jean Dieudonné,
rajouta des idées majeures à la théorie des espaces de fonctions,
mais il trouva vraiment sa voie lorsqu’il aborda la géométrie
algébrique. Il s’agit du domaine où l’on étudie le lieu des solutions
d’ensembles d’équations polynomiales en combinant les propriétés
algébriques des anneaux de polynômes avec les propriétés
géométriques de ce lieu, connu sous le nom de variété. Traditionnellement,
il s’agissait des solutions complexes de polynômes
à coefficients complexes mais juste avant le travail de Grothendieck,
André Weil et Oscar Zariski avaient compris que l’on gagnait
considérablement en ampleur et profondeur en considérant des
solutions et des polynômes sur des corps arbitraires, par exemple
sur des corps finis ou sur des corps de nombres algébriques.
Les fondements adéquats de cette vision élargie de la géométrie algébrique
étaient néanmoins peu clairs et c’est là que Grothendieck fit sa première
innovation, immensément significative : il a inventé une classe de structures
géométriques généralisant les variétés qu’il appela des schémas. Dit de la
manière la plus simple, il proposa d’associer à tout anneau commutatif
(n’importe quel ensemble d’objets pour lesquels l’addition, la soustraction
et une multiplication commutative sont définies, comme l’ensemble des
entiers ou l’ensemble des polynômes en les variables $x,y,z$ à coefficients
complexes) un objet géométrique, appelé soit le Spec de l’anneau (raccourci
de spectre) soit son schéma affine, et de recoller de tels objets entre eux
pour former un schéma. L’anneau est pensé comme ensemble de
fonctions sur son schéma affine.
Pour illustrer à quel point cette idée a été révolutionnaire, un anneau peut
être fabriqué en partant d’un corps, disons celui des nombres réels, et en
rajoutant une quantité $\epsilon$ qui satisfait $\epsilon^2 =0$. Pensez
à $\epsilon$ de la manière suivante : vos instruments peuvent vous
permettre de mesurer une petite quantité telle que $\epsilon = 0,001$
mais alors $\epsilon^2 = 0,000001$ pourrait être trop petit pour
être mesuré, donc il n’y a pas de mal à dire qu’il est égal à zéro. Les
nombres dans cet anneau sont de la forme $a + b \cdot \epsilon$ avec $a$ et $b$
réels. L’objet géométrique auquel correspond cet anneau est un vecteur
infiniment petit, un point qui peut bouger de manière infinitésimale, mais
seulement au premier ordre. Grothendieck revint à Leibniz,
en concevant ainsi les infinitésimaux comme des objets qui peuvent
être manipulés. Une idée semblable a récemment été utilisée en physique,
pour les supercordes.
Pour relier les schémas à la théorie des nombres,
on prend l’anneau des entiers. Le Spec correspondant a un point pour chaque
nombre premier, en lequel les fonctions prennent des valeurs dans le corps
fini des entiers modulo $p$, et un point classique en lequel les fonctions
prennent des valeurs rationnelles, et qui est plus « gros », car il a tous les autres
points dans son adhérence.
Dès que cette construction devint familière,
peu nombreux furent ceux qui doutèrent qu’il avait trouvé les fondements
corrects pour la géométrie algébrique. Elle est à présent universellement acceptée.
En avançant dans l’abstraction, Grothendieck utilisa le réseau des applications
associées – appelées morphismes – allant d’un schéma variable à un schéma
fixe, pour décrire les schémas en tant que foncteurs. Il remarqua que de
nombreux foncteurs qui n’étaient pas des schémas apparaissaient en géométrie
algébrique. Ceci est semblable à la situation scientifique où on a de
nombreuses expériences mesurant un certain objet, à partir desquelles la chose
réelle inconnue est reconstituée, ou même à celle où on découvre quelque chose
d’inattendu à partir de son influence sur les choses connues. Il appliqua cette
méthode à la construction de nouveaux schémas, ce qui mena à de nouveaux
types d’objets appelés des champs, dont les foncteurs associés ont été ensuite
caractérisés avec précision par Michael Artin.
Son travail le plus connu est son attaque de la géométrie des schémas et des
variétés par la découverte de façons de calculer leurs invariants topologiques
les plus importants : leur cohomologie. Un exemple simple est la topologie d’un
plan privé de l’origine. En utilisant des coordonnées complexes $(z,w)$,
un plan a quatre dimensions réelles, et en enlevant un point, ce qui reste est
topologiquement une sphère de dimension trois [1]. En suivant les suggestions
inspirées de Grothendieck, Artin est parvenu à montrer que l’algèbre suffisait
à définir un certain groupe de cohomologie en dimension trois et à montrer
qu’il n’avait qu’un générateur, c’est-à-dire que la sphère vivait aussi
algébriquement. Ensemble ils développèrent ce qui est nommé cohomologie
étale au fameux séminaire de l’IHES. Grothendieck continua en résolvant
plusieurs conjectures profondes de Weil, en développant la cohomologie
cristalline et une métathéorie cohomologique appelée des motifs avec un groupe
brillant de collaborateurs qu’il avait attirés à cette époque.
En 1969, pour des raisons qui ne sont entièrement claires pour personne,
il quitta l’IHES où il avait fait tout ce travail et il plongea dans une campagne
écologico-politique qu’il appela Survivre. Avec un esprit étonnamment naïf (qui
lui a bien servi pour faire des maths), il a cru qu’il pouvait lancer un mouvement
qui change le monde. Mais lorsqu’il vit que cela n’arrivait pas, il revint aux
maths, en enseignant à l’Université de Montpellier. Il y formula des visions
remarquables de structures encore plus profondes connectant l’algèbre et la
géométrie, par exemple le groupe de symétrie de l’ensemble de tous les
nombres algébriques (connu sous le nom de groupe de Galois
$\mbox{Gal} (\overline{\mathbb{Q}} / \mathbb{Q})$) et des graphes
tracés sur des surfaces compactes, qu’il appela des « dessins d’enfants ». En dépit
du fait qu’il a écrit des traités de milliers de pages à ce sujet, pas encore
publiés, son programme de recherche a été pauvrement financé par le CNRS
(Centre National de la Recherche Scientifique) et il accusa le monde
mathématique d’être totalement corrompu. Pendant les deux dernières
décennies de sa vie il rompit avec le monde entier et il rechercha une totale
solitude dans le petit village de Lasserre, dans les contreforts des Pyrénées.
Il y vécut seul dans son monde mental et spirituel, en écrivant de remarquables
textes d’auto-analyse. Il mourut dans les environs du 13 Novembre 2014.
En tant qu’ami, Grothendieck pouvait être très chaleureux, pourtant les
cauchemars de son enfance avaient fait de lui une personnalité très complexe.
Il était unique de presque tous les points de vue. Son endurance et sa naïveté
lui ont permis de refaire les fondements d’une bonne partie des maths du
20e siècle en utilisant des intuitions uniques qui étonnent encore de nos
jours. La puissance et la beauté du travail de Grothendieck sur les schémas,
les foncteurs, la cohomologie, etc. sont tels que ces concepts sont devenus
les bases d’une bonne partie des maths contemporaines. Les rêves de ses
travaux ultérieurs demeurent des défis pour ses successeurs.
$\ $
Ce qui est triste est que ce texte a été rejeté comme trop technique pour
les lecteurs [de Nature]. Les éditeurs m’ont écrit que « les polynômes
de degré supérieur », « les vecteurs infinitésimaux » et « les espaces complexes »
(même les nombres complexes) étaient des choses qu’au moins la moitié de
leurs lecteurs n’avaient jamais rencontrées. Le fossé entre le monde dans
lequel j’ai vécu et celui de la plus grande partie de la population, même s’il s’agit de scientifiques, ne m’a jamais semblé plus large. Je suis préparé à entendre
des avocats et des hommes d’affaires dire
qu’ils avaient détesté les maths et qu’ils en avaient tout oublié
à l’exception de l’arithmétique, mais pas à cette réaction ! Nature est lue uniquement
par des personnes qui appartiennent à l’acronyme « STEM » (=Science,
Technology, Engineering and Mathematics) et dans les standards
d’éducation communs, toutes ces personnes sont supposées avoir
étudié une très grande quantité de maths. Très déprimant.
Addendum du 28 Décembre 2014
En fait, la revue Nature avait vraiment envie de publier une notice
nécrologique sur Grothendieck et nous a tellement mis la pression que
nous nous sommes mis d’accord sur une version très abrégée.
Cette version paraîtra probablement dans le numéro daté du 15 janvier [2],
et le copyright m’empêche de la placer ici. Le problème de combler
le fossé entre le monde du mathématicien et celui d’autres scientifiques
ou de gens de la rue est sérieux et je crois que les mathématiciens
devraient plus essayer de trouver des ponts. Un exemple est le travail de
Gowers sur les bases dans les espaces de Banach : lorsqu’il reçut la médaille
Fields, à ma connaissance personne n’utilisa l’exemple des notes de musique
pour expliquer au grand public les séries de Fourier et ainsi les bases
dans les espaces de fonctions.
Dans le cas de notre notice nécrologique, j’avais espéré que l’inclusion de
la sphère unité de dimension $3$ dans $\mathbb{C}^2 – (0,0)$ serait
suffisamment claire pour la plupart des scientifiques et qu’il pouvait
ainsi être utilisé pour expliquer la découverte capitale de Mike Artin,
que $H^3_{étale}(\mathbb{A}^2 – (0,0)) \neq (0)$. Non : éliminé par
Nature. J’avais espéré que le « réseau des applications » était une excellente
métaphore pour le foncteur représenté par un objet dans une catégorie
et que cette expression transmettait l’essentiel. Non : excisé par Nature.
Pour être juste, ils ont dû réduire la longueur et ils n’ont pas voulu
omettre les détails personnels.
Je pensais que le minimum essentiel à dire dans une notice nécrologique
sur Grothendieck était d’expliquer les schémas et de dire quelque chose
de général sur la cohomologie. Pour être honnête, le point d’achoppement
central pour expliquer les schémas a été le mot « anneau ». Si vous n’avez
pas suivi un cours d’introduction à l’algèbre abstraite, où commencer ? Dans notre version
finale nous avons décidé de mentionner en passant trois exemples - les
polynômes (en laissant de côté l’expression effrayante « degré
supérieur »), les nombres duaux [3] et les corps finis. Nous avons discuté
du Spec des nombres duaux jusqu’à ce que quelque chose qui s’approche
d’une description honnête émerge, en utilisant « très petit » et
« distance infinitésimale ». En ce qui concerne les corps finis, en dépit
de l’inconfort de John, j’ai pensé que les nombres sur l’horloge
constituaient une première présentation acceptable. D’accord,
$\mathbb{Z}/{12 \mathbb{Z}}$ n’est pas un corps, mais y a-t-il une
manière plus rapide d’introduire les anneaux finis que de dire
« une sorte de nombres qui sont additionnés comme les heures sur une
horloge – 7 heures après 9 heures n’est pas 16 heures, mais
4 heures » ? Nous décrivons ensuite la caractéristique $p$ comme
un monde « discret », en contraste avec le monde classique/continu
de la caractéristique $0$. Dans une autre direction, nous avons
aussi rajouté la clause « inspiré par les idées du mathématicien français
Jean-Pierre Serre », une reconnaissance de leur extraordinaire
collaboration.
Le tout est un compromis et je ne désire pas dire que la revue Nature est
folle ou stupide de ne pas permettre plus de maths. Le réel problème
est qu’un tel gouffre énorme et douloureux s’est ouvert entre les
mathématiciens et le reste du monde. Je pense que les programmes
de mathématiques des collèges et des lycées sont l’une des grandes
causes de celui-ci. Si les maths étaient introduites comme connectées
au reste du monde, plutôt qu’en tant qu’exercice isolé, si on les
montrait comme reliées à l’argent, à la physique, la chimie, la biologie,
à l’optimisation des décisions et à l’écriture des programmes
informatiques, moins d’élèves seraient rebutés. En fait, pourquoi
ne pas renoncer aux cours de maths séparés et enseigner les maths
au fur et à mesure des besoins en science, instruction civique ou
cours de commerce ? Si vous y pensez, je crois que vous serez d’accord avec
moi que cela ne serait pas une si mauvaise idée.
Note du traducteur : en consultant le texte original, le lecteur trouvera quelques commentaires de l’article précédent, ainsi que des réponses de Mumford.
Patrick Popescu-Pampu remercie chaleureusement David Mumford pour avoir permis cette publication sur IdM et l’ajout de liens vers d’autres pages, ainsi que Bernard Teissier pour ses remarques sur une première version de la traduction.
Notes
[1] NDT. Cette formulation est un raccourci. En fait, le plan complexe privé d’un point peut se déformer continûment en une sphère tridimensionnelle, en contractant tout vers la sphère unité le long des rayons.
[2] NDT. En effet, elle parut à la page 272 du n° 517 du 15 janvier 2015 de la revue Nature.
[3] NDT. Il s’agit des nombres de la forme $a + b \cdot \epsilon$ dont il a été question précédemment.
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Pour citer cet article :
David Mumford — «Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ? » — Images des Mathématiques, CNRS, 2015
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