J’écris ce billet pour accompagner l’article « Buissons et balais » de Daniele Turchetti. Ce dernier explique comment Berkovich a vu des structures arborescentes derrière les nombres $p$-adiques, et plus généralement dans toute situation «non-archimédienne».

Ici je souhaite présenter quelques aspects plus humains, psychologiques, de la quête ayant mené Berkovich a sa vision. Il s’agit d’extraits de son article autobiographique «Géométrie analytique non-archimédienne : premiers pas» [1].

[...] J’ai fini mes études en 1976, et j’ai obtenu mon doctorat l’année
suivante. (Mon directeur de thèse a été le Professeur Yuri Manin). Cela aurait été trop demander que d’obtenir une position académique, et le mieux que je pouvais espérer était un travail de programmeur dans une usine de machines agricoles puis, plus tard, à l’institut d’information en agriculture. La conséquence fut que j’ai pratiquement arrêté de faire des maths, que je n’ai plus produit des articles, et que j’étais considéré par mes collègues comme un outsider. J’ai eu besoin de quelques années pour devenir un expert en ordinateurs & Co, et d’apprendre à contrôler mon temps. Petit à petit j’ai recommencé à faire des maths, et mon amour pour elles éclata avec force et devint indépendant des circonstances environnantes. Au moment où commence mon récit, j’étais plus affamé de maths que jamais.

Ainsi, mon histoire commença un après-midi de juillet 1985 dans un train [...] Au lieu de parler avec les personnes à côté de moi - mon occupation habituelle pendant les longs voyages en train - j’ai ouvert un livre d’analyse fonctionnelle classique de Yuri Lyubich que mon frère ainé Yakov m’avait donné quelques jours plus tôt. Les sujets de base du livre m’étaient familiers. Pourtant, j’ai été enchanté de lire à nouveau sur ce sujet, et soudain je me suis demandé : quel est l’analogue de tout cela sur un corps non-archimédien $k$ ? [...]

Je savais que mon collègue Misha Vishik, lui aussi étudiant de Manin, avait écrit un article sur la théorie spectrale non-archimédienne. Le lendemain, j’ai trouvé l’article et j’ai commencé à le lire. [...]

Ce fut un exercice agréable d’étendre les résultats de Vishik à des opérateurs arbitraires, ce qui m’a aidé à mieux comprendre les structures topologiques arborescentes des droites affines et projectives non-archimédiennes, de m’habituer à elles et de les accepter comme une réalité. Pendant ce travail j’ai rencontré Misha plusieurs fois pour lui parler de mes progrès. À l’époque il était la seule personne (excepté ma femme) qui partageait mon excitation à ce sujet. La réaction habituelle de mes collègues était de la simple indifférence tout au plus, et la raison bien compréhensible de cela a été joliment exprimée par le Professeur Manin. Lorsque je lui racontai ce que je faisais, il me dit que cela vaut la peine de développer une théorie générale seulement lorsque l’on a en tête un problème concret. Si j’avais suivi ce sage conseil, je serais revenu aux problèmes concrets qui ne manquaient pas dans le domaine des ordinateurs, et je serais probablement devenu riche à l’ère actuelle du boom des hautes technologies, car j’étais un excellent programmeur. Heureusement, j’étais déjà suffisamment stupide pour louper une telle opportunité alléchante, et j’ai continué mon exploration du nouveau monde inconnu qui m’avait été révélé par un hasard extraordinaire.

Mon job m’occupait cinq jours par semaine de 8 heures à 17 heures. J’ai eu besoin de quelques années pour apprendre à consacrer une heure ou deux aux mathématiques pendant mes heures de travail. Le temps restant appartenait à ma famille, et lorsque j’étais complètement accroché par les maths et qu’une heure ou deux n’étaient pas suffisantes pour cela, j’ai découvert une nouvelle source de temps. J’ai appris à me réveiller tous les jours très tôt (souvent à 2 heures du matin), et j’ai pu ainsi accroître le temps consacré aux maths. À ce moment de la journée, le monde autour de moi était tranquille et frais, rien ne me dérangeait, ma tête était claire et je pouvais m’immerger dans un autre monde afin de l’explorer et le décrire. [...]

À l’époque j’ai découvert que le processus de rédaction de ce que je commençais à percevoir était très agréable et même extrêmement utile pour mieux comprendre. Le besoin d’exprimer une idée me forçait à me concentrer sur chaque petit objet ou détail du raisonnement. Cette concentration m’a aidée à voir des nuances cachées et raffinées qui pouvaient changer la vision globale, ou bien à découvrir à plusieurs reprises des préjugés bien enracinés, des visions fausses ou simplement de la stupidité.

Cela ne ressemble-t-il pas à une fable ? Plusieurs morales peuvent s’en dégager, mais comme je ne veux influencer personne, je vous laisse formuler la vôtre ! Je ne peux néanmoins pas m’abstenir d’admirer l’infinie sagesse du Parti, qui a su affecter Vladimir Berkovich dans un service lié à l’agriculture, ce qui n’a pu que lui être bénéfique pour ses premiers pas dans les arbres [2] ...