Une idée reçue au sujet de la divulgation scientifique veut que
les équations fassent fuir le public non-scientifique, et que la personne qui
désire écrire un livre qui attire de nombreux lecteurs les évite autant que faire se peut.

C’est ce défi que se propose de relever Dana Mackenzie dans son livre
«Fous d’équations. Les 24 plus belles équations de l’univers», qui vient de paraître chez Flammarion sous la traduction française d’Olivier Courcelle. Chacun des 24 chapitres de ce livre est dédié à une équation, que Mackenzie tente de présenter au plus vaste public possible, avec son contexte de découverte et une esquisse de son importance dans l’histoire des sciences.

Son choix est, bien sûr — comment pourrait-il en être autrement ? — personnel, et je recommande au lecteur, avant de lire la suite de ce billet, de réfléchir à sa propre liste d’équations préférées, afin de ne pas se laisser influencer.

Je pense que ce livre est agréable à lire dès le lycée par toute personne ne souffrant pas de répugnance pour les maths. J’invite le lecteur à décider par lui-même de cela au vu des extraits suivants, consacrés d’une part à l’équation:
\[\pi(n) \approx \int_2^n \dfrac{dx}{ \ln x} \]
décrivant la fréquence d’apparition des nombres premiers parmi les nombres naturels et d’autre part à celles-ci:\[\hat{f}(n) = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) e^{inx}dx, \ \ f(x) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \hat{f}(n) e^{inx} \]
qui décrivent la transformée de Fourier des fonctions périodiques (ici de période $2\pi$).

«À l’école élémentaire, nous avons probablement tous remarqué que le développement décimal de certaines fractions se caractérise par une période plus ou moins longue. Celle de nombres comme $1/3 = 0, 3333 ...$ est courte. Celle de $1/37 = 0,027027 ...$ aussi. Celle de $1/7 = 0, 1428571428 ...$, avec ses six chiffres, est plus longue. Celle de $1/19 = 0,0526...$ compte dix-huit chiffres.

En fait, le développement décimal d’un nombre de la forme $1/n$ finit toujours par boucler sur un cycle de $n-1$ chiffres au plus. Les nombres qui atteignent la limite de $n-1$ chiffres sont toujours premiers, comme $7$ ou $19$. Mais tous les nombres premiers ne présentent pas une périodicité maximale. La période de $1/37$, par exemple, ne compte que $3$ chiffres, ce qui est très loin de la borne des $36$ chiffres. On ne connaît aucune formule pour distinguer les nombres premiers à périodicité maximale des autres. Le jour où l’hypothèse de Riemann se verra confirmée, nous saurons du même coup, ainsi que l’a établi Christopher Hooley en 1967, qu’ils forment $37,4$ pour cent du total. Tel est le genre d’information incroyablement précise que les théoriciens des nombres parviennent à tirer de l’hypothèse de Riemann.»

«[...] la température d’une barre métallique, initialement distribuée selon une onde sinusoïdale, baisse à un taux proportionnel au carré de la longueur d’onde de ladite
sinusoïdale.

Mais en partant d’une distribution de température non sinusoïdale ? Dans l’une de ses expériences, par exemple, Fourier exposait uniquement l’une des extrémités de la barre à la source de chaleur, ce qui donne lieu à une distribution de température particulière : la moitié de la barre est chaude, l’autre moitié froide. En leur jargon, les physiciens parlaient d’une onde ou d’un signal «carré». Fourier affirmait que toute distribution de température pouvait se décomposer en une somme, éventuellement infinie, d’ondes sinusoïdales - aujourd’hui appelée série de Fourier.

De nos jours, avec les ordinateurs, on visualise sans peine l’approximation d’une fonction arbitraire par une série trigonométrique. Il est facile, en particulier, de montrer comment un signal carré émerge d’une succession d’oscillations. Mais les collègues de Fourier, et en particulier Joseph-Louis Lagrange, son ancien professeur, trouvaient ce point précis particulièrement difficile à avaler. Il impliquait de fait de revoir complètement la notion de fonction.»

Celui qui se laissera tenter par la lecture du livre sera conduit de «l’équation la plus simple du monde» :
\[ 1 + 1 = 2 \]
à l’équation de Black et Scholes:
\[\frac{\partial \theta}{ \partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 s^2 \frac{\partial^2 \theta}{\partial s^2} + r s \frac{\partial \theta}{\partial s} = r \theta\]
qui «donne aux économistes l’impression trompeuse de gérer le risque selon des lois objectives, comparables à celles qui gouvernent la physique». En passant par la loi du levier d’Archimède, les lois de Kepler, l’incontournable équation d’Einstein $E = mc^2$ et l’équation de Gauss-Bonnet-Chern qui «donne une information sur la forme globale de l’espace à partir de sa courbure en chaque point».

Le fait que le livre s’achève sur des considérations portant sur les crises financières fait penser au film « Comment j’ai détesté les maths ». Gageons néanmoins que ce livre ne contribuera point à les faire haïr ...