Des nombres entiers ?

La racine carrée d’un nombre positif $c$ est le nombre positif $x$ tel que $x^2=c$ ;
on le note $\sqrt{c}$. Par exemple, la racine carrée de $169$ est égale à $13$.
L’opposé $-\sqrt{c}$ vérifie aussi $(-\sqrt{c})^2 = c$ ; on dit parfois que $-\sqrt{c}$ est la racine carrée
négative de $c$. Ici, seule la racine carrée positive nous intéressera : nous allons chercher les nombres
entiers $n\geq 0$ tels que $\sqrt{n}$ soit un nombre rationnel [1] ?. Mais auparavant, posons nous une question
plus simple : quels sont les nombres $n\geq 0$ dont la racine carrée est un nombre entier ?

Par définition, les nombres $n$ dont la racine carrée est un entier peuvent être écrits sous la
forme $n=m^2$ avec $m$ entier positif. Ces nombres $n$ sont donc les éléments de la liste qui commence ainsi :
\[ 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, ... \]
(le dernier terme écrit, $289 = 17^2$, correspond à $m=17$). Dans cette liste, l’écart entre le
terme $m^2$ et le suivant $(m+1)^2$ est égal à $2m+1$ [2] ; les écarts successifs grandissent donc indéfiniment :
à chaque fois, l’écart s’accroit de deux unités, passant par exemple de $21$ pour $m=10$ à $23$ pour $m=11$,
de $31$ pour $m=15$ à $33$ pour $m=16$, ... Les entiers de la forme $m^2$ ou, ce qui revient au même,
les nombres dont la racine carrée est un entier, deviennent de plus en plus rares à mesure que leur taille augmente [3].

$\sqrt{2}$ n’est pas rationnel

Le premier nombre entier qui
n’est pas le carré d’un entier est le nombre $2$. Sa racine carrée $\sqrt{2}$ est-elle rationnelle ? Autrement
dit, peut-on trouver deux entiers positifs $p$ et $q$ tels que $\sqrt{2}=p/q$ ? La réponse est non :

Théorème.— La racine carrée de $2$ n’est pas un nombre rationnel.

Nous allons donner deux démonstrations de ce théorème, l’une géométrique, l’autre arithmétique. Les deux
suivent le même schéma : nous y supposons que le nombre $L=\sqrt{2}$ est rationnel et l’écrivons
sous forme réduite $p/q$, avec $p$ et $q$ entiers positifs ; il s’agit alors de trouver une nouvelle écriture $L=a/b$
avec $a$ plus petit que $p$ strictement et $b$ plus petit que $q$ strictement, contredisant l’hypothèse initiale de
forme réduite.

Un carré de côté $p$, deux carrés de côté $q$

Démonstration géométrique.— En écrivant $L^2= 2$ et en multipliant
chaque terme par $q^2$ nous obtenons
\[ p^2=2 q^2. \]
Ceci implique que l’aire d’un carré de côté $p$ (c’est-à-dire $p^2$) est égale à la somme des aires de deux
carrés de côté $q$, comme sur la figure ci-dessus. Faisons glisser les deux petits carrés rouges à l’intérieur du
grand jaune :

Trois nouveaux carrés apparaissent (voir la figure ci-dessous) :

• le carré bleu : c’est là où les deux carrés rouges se superposent ;
• les deux petits carrés verts : ce sont les zones du grand carré qui ne sont pas couvertes par les deux carrés rouges.

En additionnant les aires des deux carrés verts et des deux rouges on obtient donc l’aire du grand
carré jaune plus celle du carré bleu, car celui-ci est compté deux fois (une fois par carré rouge).
L’aire du carré jaune étant égale à deux rouges, l’aire du carré bleu est le double de celle d’un vert.

Notons $a$ le côté du carré bleu et $b$ celui du vert ; alors l’égalité que nous venons d’établir correspond
à l’équation $a^2=2\times b^2$. Ainsi $(a/b)^2=2$ et $\sqrt{2}$ est donc aussi égal au nombre rationnel $a/b$.
Mais $a$ et $b$ sont des entiers positifs strictement plus petits que $p$ et $q$ : plus précisément, $b=p-q$
et $a=2q-p$. Donc l’écriture $\sqrt{2}=p/q$ ne pouvait pas être une forme réduite. $\square$

Démonstration géométrique sans la géométrie.— En oubliant le cheminement géométrique précédent, mais en
relisant le dernier paragraphe de la démonstration, nous obtenons une démonstration plus courte. Partant de $L=p/q$
avec $p^2=2q^2$, définissons $a=2q-p$ et $b=p-q$. Puisque $1 < L < 2$ nous savons que $q < p < 2q$ ; ceci montre
que $0 < a < p$ et que $0 < b < q $. Par ailleurs, $a^2=4q^2-4pq+p^2=6q^2-4pq$ et $b^2=p^2-2pq+q^2=3q^2-2pq$. Donc
$a^2=2b^2$. Ainsi, $a/b$ est aussi égal à $L=\sqrt{2}$, ce qui contredit l’hypothèse de forme réduite pour $p/q$ car $0 < a < p $ et $0 < b < q $. $\square$

Démonstration arithmétique.— Nous utiliserons la remarque suivante : le carré d’un nombre impair est impair. En effet,
un nombre impair est de la forme $2k+1$, son carré est alors égal à $4k^2+4k+1=2\times (2k^2+2k) +1$ et est donc impair. En corollaire, si un carré est pair, c’est le carré d’un nombre pair.

Revenons à la démonstration du théorème. En écrivant $L^2= 2$ et en multipliant chaque terme par $q^2$ nous obtenons
$ p^2=2 q^2. $
Ceci montre que $2$ divise $p^2$. Ainsi, $p$ est pair et peut être écrit sous la forme $p=2a$ où $a$
est l’entier obtenu en divisant $p$ par $2$. En remplaçant $p$ par $2a$, l’équation $p^2=2q^2$ devient
$4 a^2 = 2q^2$ ; elle fournit la relation $2a^2=q^2$, ce qui montre que $q$ est pair aussi et peut-être
écrit sous la forme $q=2b$. La fraction $p/q$ n’était donc pas sous forme réduite puisque $p/q=(2a)/(2b)=a/b$. C’est la contradiction cherchée. $\square$

Irrationnalité

Théorème.— Les entiers $n\geq 0$ dont la racine carrée est un nombre rationnel sont les entiers qui sont les carrés d’un nombre entier.

Autrement dit, $\sqrt{n}$ est un nombre rationnel si et seulement si $\sqrt{n}$ est un entier, si et seulement s’il existe
un entier $m$ tel que $n=m^2$ : on retrouve la liste du premier paragraphe. Ainsi, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$,
$\sqrt{7}$, $\sqrt{8}$ ne sont pas rationnels. Ce ne sont donc pas des nombres décimaux ; ces derniers, en effet, sont les nombres
rationnels qui peuvent être écrits sous la forme $p/q$ avec $q$ une puissance de $10$ : $q=10^k$ pour un entier $k\geq 0$.

Démonstration arithmétique.— Nous utiliserons l’existence et l’unicité de la décomposition d’un nombre entier en produit
de facteurs premiers. Ceci remplacera le fait, utilisé pour étudier $\sqrt{2}$, que le carré d’un nombre impair est impair.
Supposons que $\sqrt{n}$ soit un nombre rationnel, que l’on écrit sous
forme réduite $p/q$. Alors $p^2=n\times q^2$.
Notons $p_1$, $\ldots$, $p_k$ les facteurs premiers de $p$, et
$q_1$, $\ldots$, $q_\ell$ les facteurs premiers de $q$ ; les nombres premiers qui apparaissent sont deux-à-deux
distincts (si des facteurs premiers de $p$ et $q$ coïncidaient, la fraction $p/q$ ne serait pas réduite car on pourrait simplifier
numérateur et dénominateur par ce facteur premier). Les
facteurs premiers de $p^2$ sont les mêmes que ceux de $p$, simplement les exposants sont multipliés par $2$.
Par exemple, si $p=63=3^2\times 7$ alors $p^2=3969=3^4\times 7^2$. Pourtant, la relation $p^2=n\times q^2$
montre que les facteurs premiers de $p$ sont ceux de $n$ et de $q^2$ : les $q_j$ devraient donc apparaître
dans la liste des $p_i$. C’est la contradiction cherchée. $\square$

De bonnes approximations.

Même si $\sqrt{2}$ n’est pas
rationnel, il existe de très bonnes approximations par des nombres rationnels. Par exemple, son développement décimal
commence par $1.414$, donc
\[ \vert \sqrt{2}-\frac{1414}{1000}\vert = \vert \sqrt{2}-\frac{707}{500}\vert< \frac{1}{1000}=0,001. \]
Mais l’on peut faire beaucoup mieux. Par exemple,
$ \vert \sqrt{2}-\frac{99}{70}\vert< 8\cdot 10^{-5}. $
L’approximation est meilleure car les quatre premiers chiffres après la virgule sont exacts (au lieu de trois)
et les entiers $p=99$ et $q=70$ utilisés pour la fraction sont bien plus petits que $707$ et $500$. Avec la fraction
$17/12$, on obtiendrait déjà les deux premières décimales.

En guise de conclusion, je ne peux m’empêcher de signaler ce texte de Jean-Pierre Kahane qui montre comment la recherche des meilleures approximations par des nombres rationnels peut nous éclairer sur ... les petites choses politiques de notre temps. Jean-Pierre Kahane était un mathématicien et un orateur remarquable : rendons lui hommage en visionnant l’une de ses dernières conférences, celle qu’il a donnée en 2014 à la Bibliothèque Nationale de France pour le cycle « Un texte un mathématicien ».