¿Se puede hacer un anillo de tetraedros ?

Grupo libre y juego de construcción

Piste bleue Le 9 juillet 2020  - Ecrit par  Clément Caubel
Le 13 octobre 2021  - Traduit par  Andrés Navas
Article original : Peut-on faire un anneau de tétraèdres ? Voir les commentaires
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Situación vivida : estás en un hospedaje de vacaciones, en un rincón hay un juego de construcción a base de triángulos encajares idénticos, tienes tiempo y dos niños pequeños que cuidar...

¡Vale la pena aprovechar para jugar a crear construcciones originales ! [1] Así, provisto de un montón de triángulos equiláteros todos del mismo tamaño que se pueden ensamblar a lo largo de sus lados, ¿qué se puede hacer ?

Por supuesto, puedes comenzar haciendo mosaicos planos, como este :

Pero si nos olvidamos un poco de los colores, debemos reconocer que no es muy variado... Podemos pasar a las tres dimensiones, y rápidamente llegamos al tetraedro siguiente :

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Cuatro tetraedros regulares.

Es una pirámide de base triangular (son necesarios 4 triángulos). Envalentonados, nos podemos lanzar a la construcción de sólidos de caras triangulares más elaborados : por ejemplo, el octaedro (que necesita 8 caras),

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Dos octaedros regulares.

y el icosaedro, que necesita 20 :

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Dos icosaedros regulares.

Estos tres ejemplos son sólidos platónicos, figuras particularmente regulares. Son los únicos con caras triangulares. Son muy bonitos por supuesto, pero aún tenemos tiempo y baldosas triangulares disponibles...

Entonces miramos el tetraedro, el octaedro y el icosaedro, y observamos que por deformación, los tres son idénticos : si fueran blandos, inflando su interior obtendríamos una burbuja bien esférica.

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Los tres sólidos platónicos de caras triangulares (tetraedro, octaedro e icosaedro) y sus versiones ’’infladas’’.

¿Podemos crear una forma cerrada a partir de los triángulos que rompa este paradigma ? No es tan claro : si no queremos que esta forma sea, por deformación, una esfera, debe tener asas, como los agujeros en una boya (ver este artículo o este otro). Una boya con caras triangulares...

Pero antes de hacer una boya, ¿cómo hacer un tubo con caras triangulares ?
Una idea sería ensamblar tetraedros en pares. Después de todo, los tetraedros son los análogos tridimensionales de los triángulos, y la superficie de este ensamblaje sería una superficie con todas las caras triangulares. Además, al ensamblarlos cara a cara, se obtiene una forma muy rígida [2].

Comencemos entonces : partimos con un tetraedro y luego agregamos otro en la parte superior. Es como quitar una cara y luego reemplazarla con tres triángulos en una esquina. Luego comenzamos de nuevo : cada vez que quitamos una cara, la reemplazamos por tres caras encajadas a lo largo de los tres bordes del agujero.

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Etapas de un ensamble de tres tetraedros.
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Ensamble final de una cadena de cuatro tetraedros.
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Una cadena de siete tetraedros.

Una buena forma de obtener una boya con caras triangulares sería ensamblar dos a dos los tetraedros para hacer una cadena que se cierre después de un momento, esto es, un anillo de tetraedros.
¿Podemos cerrar la cadena ? Intentemos :

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Un primer intento de anillo de tetraedros.

Sigamos :

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Otro intento...

Continuemos :

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Y otro intento más...

¡No lo logramos ! Nace entonces la pregunta : ¿se puede hacer un anillo de tetraedros [3] ?

Investiguemos un poco

Tras haber reflexionado un poco sobre el asunto sin éxito, nos lanzamos en la búsqueda de un documento que evoque este problema : ¡viva internet !

Rastreando un poco, llegamos a la noción de hélice de Boerdijk-Coxeter, que es una cadena de tetraedros ’’recta’’ [4].

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Un ejemplo de cadena de Boerdijk-Coxeter con 27 tetraedros.

Luego llegamos a la noción de poliedro toroïdal, que responde a la pregunta inicial (’’fabricar una superficie cerrada con un agujero a partir de triángulos equiláteros’’) : es posible. Veamos dos ejemplos.

El primero es un anillo formado de 8 octaedros regulares (¿puedes detectarlos ?) :

El segundo es un anillo formado de 3 octaedros ligados dos a dos por una cadena de 3 tetraedros. John Conway (cuyas ideas pueden ser apreciadas en este artículo) afirmó en 1997 que es el poliedro toroidal formado por triángulos equiláteros en número mínimo posible (36), respondiendo así a una pregunta de Martin Gardner.

Problema : ¡ninguno de estos ejemplos está formado solo por tetraedros regulares ! En efecto, el octaedro no está formado por 2 tetraedros, sino por 2 pirámides de base cuadrada. La existencia de nuestro anillo formado (únicamente) por tetraedros no está, por tanto, asegurada aún.

Actuemos ahora como matemáticos o, al menos, como integrantes de un departamento de matemáticas. Disponemos de herramientas especializadas bases de datos bibliográficas [5]. Nos sumergimos y descubrimos un artículo de 1959 [6], donde se aprende :

  • que la pregunta fue propuesta el 29 de febrero de 1956 por Hugo Steinhaus, matemático polaco para el cual este artículo ya evocaba gran versatilidad ;
  • que la respuesta es negativa : no se puede hacer un anillo de tetraedros [7].

¿Por qué no intentar explicar esta demostración ?

Reducción a las extremidades

La idea para probar esta imposibilidad es considerar una cadena de tetraedros en construcción y comparar sus dos extremos. En efecto, si pudiéramos cerrar la cadena uniéndolos por una cara común, eso significaría que al agregar un tetraedro a la cadena, los dos nuevos extremos se fusionarían, como se muestra en el análogo bidimensional a continuación.

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Los dos extremos tienen un lado en común...
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... y se confunden al agregar un triángulo.

Ahora bien, la situación en el espacio viene dada por dos cosas :

  • la posición de su centro ;
  • su orientación respecto a direcciones fijas.

Aquí hay un análogo en dos dimensiones :

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De izquierda a derecha : la misma orientación pero en posiciones diferentes ; igual posición pero con orientaciones diferentes ; posiciones y orientaciones diferentes.

Así, para que los extremos de una cadena de tetraedros se fusionen, deben tener la misma posición y la misma orientación. Veremos, sin embargo, que nunca tendrán la misma orientación ; por lo tanto, nunca se pueden confundir y, consecuentemente, la cadena nunca se puede cerrar en un anillo.

¿Cómo comparar las orientaciones de las extremidades ?

Para poder comparar las orientaciones de los extremos de una cadena de tetraedros, primero los diferenciaremos : uno será la base (en rojo en las figuras que siguen), y el otro el fin (en azul). Adoptaremos también un punto de vista dinámico : construiremos la cadena a medida que avanzamos agregando los tetraedros a la base como si salieran del mismo molde (como la cadena de salchichas en una famosa película de Jacques Tati). La orientación de la base queda así fija, y solo la del fin cambia.

Describamos el proceso de construcción con más detalle. Primero comenzamos fijando el espacio ocupado por el tetraedro base, al que llamaremos molde a continuación. Cada adición de un tetraedro consta entonces de dos fases :

  1. Movemos la cadena construida hasta ahora empujando la base fuera del molde para que este quede vacío pero tenga un lado en común con ella.
  2. Añadimos un tetraedro en lugar del molde : este tetraedro se convierte entonces en la nueva base.

El molde tiene cuatro caras, y cada uno de los desplazamientos de la fase 1 de la base fuera del molde está determinado por aquel sobre el que descansa al final del desplazamiento : arriba (haut), abajo (bas), izquierda (gauche), derecha (droite).

Observemos inmediatamente que un desplazamiento ’’hacia arriba’’ no puede suceder a un desplazamiento ’’hacia abajo’’ y recíprocamente. De la misma manera, los desplazamientos ’’a izquierda’’ y ’’a derecha’’ no se pueden suceder uno al otro. Esto se debe a que cada desplazamiento de la fase 1 debe dejar el molde vacío.

La cadena obtenida al final queda enteramente determinada por la sucesión de desplazamientos efectuados. Aquí hay dos ejemplos.

  • Construimos la cadena de Boerdijk-Coxeter de 14 tetraedros. La sucesión de correspondiente de desplazamientos es entonces (verifíquelo ;)) :
    \[G, G, B,B, G, G, B, B, G, G, B, B, G.\]

  • Aquí hay otro ejemplo donde se construye virtualmente el tercer intento de anillo fotografiado más arriba. La sucesión de movimientos es :
    \[H,G,G,B,D,D,B,B,B,D,D,B,G,G,H,H,G\]

Concentrémonos ahora en los cambios de orientación del extremo azul.
Si nos olvidamos de los cambios de posición [8], a cada desplazamiento de la cadena, este extremo sufrirá un cambio de orientación elemental entre 4 posibilidades :

Para ilustrar cómo se componen todos estos cambios de orientación, tomemos el segundo ejemplo anterior mostrando solo los sucesivos cambios de orientación del extremo. Recuerda que, por su parte, la base no cambia de dirección.

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Cambios sucesivos de orientación del extremos según la secuencia $H,G,G,B,D,D,B,B,B,D,D,B,G,G,H,H,G$

Resumamos : al final de la construcción de una cadena de tetraedros, la orientación del extremo se obtiene a partir de la de la base mediante una sucesión de cambios de orientación elementales. Esta sucesión está determinada por una palabra formada por las cuatro letras $ H, B, G, D $ sujeta a la siguiente restricción, explicada anteriormente : las letras $ H $ y $ B $ nunca pueden estar juntas lado a lado, así como las letras $ G $ y $ D $. Tal palabra se llamará palabra reducida a continuación. Por ejemplo, la palabra reducida asociada con la cadena Boerdijk-Coxeter del primer ejemplo anterior es $ GGBBGGBBGGBBG $.

En este lenguaje, podemos ahora enunciar el resultado que prueba la imposibilidad de construir un anillo de tetraedros :

No existe palabra reducida que devuelva al tetraedro de la extremidad la orientación de la base.

En consecuencia, no existe ninguna cadena de tetraedros cuyos extremos se confundan (ya que no tienen jamás la misma orientación) y, por tanto, no hay manera de construir un anillo de tetraedros.

Aquí uno podría decir : ’’Muy bien, pero ¿cómo se demuestra este resultado ?’’. Resulta que este formalismo de palabras reducidas es muy adecuado para el cálculo : podemos calcular con estas operaciones elementales al igual que con números [9]. Para ello, volvemos a los objetos matemáticos habituales (para profesionales) : rotaciones y grupos. Terminaremos explicando cómo. Atención : esto se vuelve más complicado.

Traducción en términos matemáticos : grupos libres de rotaciones.

Como se puede ver en la primera película que describe los cuatro movimientos de la base hacia fuera del molde, cada movimiento de la cadena intermedia es una rotación alrededor de un borde de ’’bisagra’’ del molde, en un ángulo igual al que separa dos caras del molde. Denotaremos este ángulo por $ \alpha $ en lo que sigue. [10]. Por lo tanto, dado que se desprecia la posición, los cuatro cambios elementales de orientación $ H, B, G, D $ al final son las rotaciones del ángulo $ \pm \alpha $ en toro a los dos ejes centrados ortogonales paralelos a los dos bordes de la bisagra. Estas rotaciones se componen entre sí, como vimos en la película que muestra los sucesivos cambios de orientación de los extremos. Además, las rotaciones $ H $ y $ B $ son inversas entre sí, al igual que las rotaciones $ G $ y $ D $. Por lo tanto, cualquier palabra reducida a las cuatro letras $ H $, $ B $, $ G $ y $ D $ determina un elemento de un subgrupo de $SO (3) $ (conjunto de rotaciones centradas del espacio) generado por $ G $ y $ H $ (para la noción de grupo y mucho más, se puede consultar este bonito artículo). En esta dirección, el enunciado preciso del teorema de Świerczkowski de 1959 es el siguiente :

Un subgrupo de $SO(3)$ generado por dos rotaciones de ejes ortogonales y del mismo ángulo $\phi$ de coseno irracional es libre si y solo sii $\cos\phi\notin\{0,\pm 1,\pm1/2\}$.

Un grupo libre generado por dos elementos $ a $ y $ b $ es exactamente un grupo del cual cada elemento está dado únicamente por una palabra reducida a las letras $ a $, $ a^{- 1} $ , $ b $, $ b^{- 1} $. Dado que los ejes de $ H $ y $ G $ son ortogonales y su ángulo $ \alpha $ satisface $ \cos \alpha = 1/3 $, estamos en las condiciones de aplicación del teorema : el grupo generado por $ H $ y $ G $ es libre, lo que significa exactamente que dos palabras distintas reducidas a las letras $ H $, $ B $, $ G $ y $ D $ determinan dos elementos distintos del grupo y, en consecuencia, dos rotaciones diferentes. Sin embargo, hay un elemento particular en este grupo : es la rotación « inmóvil », que corresponde a la palabra vacía (con 0 letras). Por lo tanto, ninguna palabra reducida no vacía determina esta rotación, que es exactamente el resultado deseado : la orientación del extremo siempre será diferente de la de la base [11].

Para concluir...

’’¡Pero hay otras rotaciones aparte de la rotación fija (identidad) que no cambian la orientación de un tetraedro !

  • Es cierto : por ejemplo, cualquier medio giro alrededor de un eje que pasa por el medio de dos bordes opuestos no cambia en última instancia la orientación.
  • Pero entonces, ¿qué garantiza que una palabra reducida no vacía en $ H $ y $ G $ no dé una de estas rotaciones ?
  • Esto se debe a que solo hay un número finito [12].
  • ¿ Y entonces ?
  • Entonces, dado que estas rotaciones también forman un grupo (el grupo de simetrías directas del tetraedro), esto implica que son de orden finito : en cuanto tomamos una y la componemos consigo misma varias veces (6 siempre funciona), encontraremos la identidad en un momento.
  • ¿Ok, y eso qué ?
  • Bueno, si una palabra reducida no vacía diera una de estas rotaciones, la palabra reducida obtenida pegándola 6 veces daría la identidad. Sin embargo, sabemos que ninguna palabra reducida no vacía da la identidad.
  • Vale ... ¿Pero qué te prueba que la palabra pegada, una vez reducida, no está vacía ?
  • Pff ... ¿No quieres jugar con triángulos en su lugar ?’’
Post-scriptum :

Gracias a Julia y Damian por su gentil invitación al origen de este artículo, y a Patrick Popescu-Pampu por acogerlo en su rúbrica.

Agradezco además Maxime Bourrigan, Serma, Christophe Boilley, M. Ponchant, rgugliel, Jimmy Dillies y Robin Jamet por haberlo releído atentamente y por sus observaciones que permitieron mejorarlo.

Article original édité par Patrick Popescu-Pampu

Notes

[1de preferencia en colaboración con niños...

[2Contrariamente, por ejemplo, a los caleidociclos, collares de tetraedros ensamblados de dos en dos a lo largo de aristas comunes (y no caras) que no consideraremos aquí.

[3regulares, es decir, de caras equiláteras, y del mismo tamaño (como lo supondremos a lo largo del resto del artículo)

[4el artículo menciona anillos creados de esta manera, pero en dimensión 4...

[5Hay dos principales : MathSciNet (de la AMS, es decir, la Sociedad de Matemáticas de Estados Unidos, con acceso reservado), y Zentralblatt MATH (europea, con acceso directo : ¡úsela !)

[6Świerczkowski, S. ’’On chains of regular tetrahedra.’’ Colloquium Mathematicae 7.1 (1959) : 9-10, disponible aquí.

[7Es divertido constatar que el autor se apoyó en un artículo precedente publicado en 1958 mientras su cargo estaba en Varsovia (Polonia) y que publicó una versión completa... 35 años más tarde, ¡cuando su puesto estaba en Mascate (Oman) !

[8quien sea más versado entenderá ’’módulo desplazamiento’’

[9productos de matrices $ 3 \times 3 $ para aquellos que saben : vea el siguiente enunciado que detalla la demostración, el cual requiere leer el artículo hasta el final.

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[10Podemos calcular que $ \alpha = \arccos(1/3) \simeq 70,53^\circ $

[11Tenga en cuenta que esto demuestra de manera más general que no podemos construir una cadena de tetraedros periódicos, es decir formada por varias secciones idénticas hasta su posición : por ejemplo, todos los tetraedros de una cadena de Boerdijk-Coxeter, por muy larga que sea, estarán orientados de manera diferente

[1212 exactamente si incluimos la identidad

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «¿Se puede hacer un anillo de tetraedros ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Crédits image :

img_15175 - Wikipedia
img_15176 - Extrait d’une figure d’un article de International Journal of Geo-Information

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