Secciones cónicas

El cono de Apolonio

Le 24 mars 2012  - Ecrit par  Francisco Treceño
Le 26 avril 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
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¡Ver y tocar las cónicas !

Nosotros, los torneros en madera, vivimos entre curvas. Curvas, cuerpos redondos, sólidos de revolución...casi siempre cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente de figuras geométricas curvas. [1]

Nosotros utilizamos un torno (tornus, y τόρνος, vuelta) para trabajar la madera provista por los árboles después de un lento crecimiento en armoniosos ’’anillos concéntricos’’. E independientemente de la forma del bloque de madera —irregular, cuadrangular, poligonal, etc— una vez instalado en el eje de desplazamiento del torno, cuando se le hace girar a 3000 revoluciones por minuto, se transforma como por magia en una silueta cilíndrica. Luego, con ayuda de diferentes herramientas (gubias, formones, planos, raspadores, etc.), se trabaja la madera para conseguir el objeto esperado : conos, cilindros, esferas, formas tronco-cónicas o elipsoidales, casquetes esféricos o hemisféricos...

.... o el famoso cono de Apolonio, pieza que reúne la belleza decorativa, la simplicidad formal y la complejidad geométrica.

Cono de Apolonio

Esta figura de madera -célebre desde el estreno de la película ’’Ágora’’ de Alejandro Amenábar, que recuerda la vida de Hipatia, hija de Teón, matemática y astrónoma- era una de las piezas del material pedagógico de nuestras escuelas enseñanza primaria en el siglo pasado. Era un cono equivalente a éste -pero no idéntico- con el cual uno hacía los trabajos prácticos en la escuela. Al lado de ese cono había otras figuras como el cilindro, la esfera, el cubo, prismas, pirámides, etc. Se trataba del maletín de las figuras geométricas de madera.

En el museo ’’Traversi’’ de Venecia, se puede admirar el cone per le sezioni coniche que data de 1891. Es la pieza más antigua de ese tipo que yo conozco.

Hay muchas cosas que encuentro fascinantes en ese tipo de cono, pero sobre todo subrayaría por un lado su simplicidad formal y su fuerza estética, y por otro lado la dificultad técnica de su construcción.

Roble americano

Roble francés

Las maderas utilizadas para construir los conos

Cada cono es torneado a partir de un único bloque de madera, para que desde la base hasta la cúspide conserve la misma veta, dejándolo de ese modo más atractivo estéticamente.

Principalmente uso roble francés, castaño o nogal español, que presentan hermosos diseños brillantes, así como la consistencia y la densidad necesarias. Un cono se compone de cinco piezas : tres son teñidas y las otras dos conservan su tono natural. Esta alternancia de tono transmite una cierta espacialidad interna, que hace presentir al espectador lo que puede descubrir al desmontar el cono.

Primero se desmonta la parte superior para ver el círculo.

Luego la elipse.

La rama de la hipérbola.

Chêne français {JPEG}

La parábola.

Corail-Padouk {JPEG}

Y todas las cónicas de una sola mirada. [2]

Noyer espagnol {JPEG}

Las piezas se ensamblan gracias a clavijas internas : la elipse y el círculo verticalmente, la parábola y la rama de hipérbola horizontalmente, con una clavija fija a la parte de atrás, ligeramente inclinada de abajo hacia arriba. En este video de apenas 50 segundos, se puede ver cómo se desmonta y vuelve a montar un cono.

Sería muy largo explicar las etapas necesarias para la construcción de un cono, ya que son numerosas y muy precisas, tanto del punto de vista del diseño como del torneado. Es indispensable que los cálculos iniciales sean exactos para que las secciones del cono conserven un ángulo correcto durante la última etapa : el corte de refinado y la regulación de las dimensiones de la altura del cono y del diámetro de la base.
Para hacer un cono, dedico una o dos jornadas completas de trabajo en función de las dimensiones. Ya he dicho que es un proceso muy largo y laborioso que comienza por la selección del bloque de madera, sin nudos ni fisuras, hasta el acabado, pasando por muchos procedimientos y acciones habituales en los trabajos en madera : diseño, trazado, recorte, pegado, perforado, lijado...¡polvo, aserrín y viruta !

¡Un verdadero trabajo artesanal ! Pero para terminar, debo reconocer que el resultado -desde mi punto de vista como constructor- es más que satisfactorio. Un cono desmontable de madera, agradable al tocar, delicado y duro a la vez, resbaladizo, proporcionado... que permite ver, conocer, acariciar y tocar las secciones cónicas. Hace algún tiempo leí que ’’tocar es básicamente la única manera mediante la cual uno puede tener una sensación directa de la forma tridimensional de un objeto’’. Creo que es cierto.

Permítame concluir esta nota, citando el pasaje [3] de ’El Niño’ de Jules Vallès, dedicado a los éxitos matemáticos del narrador. Se le puede encontrar in extenso aquí (mitad de página, párrafo « les mathématiques »). Cito sólo el final :

’’ (...) A propósito : parece que usted comprendió mi sistema.
– No hay más que mirar y tocar. Tenga ¿quiere que le explique ? ’’

Tomando las piezas de yeso que encontré bajo la mano, hice de nuevo mi demostración.

’’ ¡Eso es ! ¡eso es ! decía, asintiendo con la cabeza. Uno quiere enseñarles a los niños lo que es un cono, cómo se le corta, el volumen de la esfera, y uno les muestra líneas, ¡líneas ! Déles el cono de madera, la figura en yeso, enséñeles esto, ¡como cuando se recorta una naranja ! ¡Teología, todo el viejo sistema ! ¡Siempre el buen Dios ! ¡el buen Dios !

– ¿Qué dice del buen Dios ?

– Nada, nada. ’’

Pareció que estaba saliendo de un ataque de cólera, y volvió a hablarme de la geometría con hilos y yeso.

Post-scriptum :

La redacción de Images des Maths, así como el autor, agradecen por su atenta relectura a los relectores cuyos seudónimos son los siguientes : Vincent Beck, Aline Parreau, Anne-Laure Dalibard, Michel Mouyssinat, TheBarber, Rémi Coulon y Vincent Borrelli.

Article original édité par Aurélien Alvarez

Notes

[1Agradezco a la profesora -y amiga- de matemáticas de la Universidad del Pays Basque, Marta Macho-Stadler, por la ayuda entregada para este artículo

[2En las páginas siguientes encontrará con qué enriquecer sus conocimientos acerca de las cónicas :

Generación tangencial

Elíptica, hiperbólica ¿por qué ?

Tres mil doscientos sesenta y cuatro…

[3Pasaje que me fue amablemente revelado por Clément Caubel

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Secciones cónicas» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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