Enoncé

La réponse est $3456$ nombres.

Remarquons d’abord qu’il y a dix couples de chiffres dont la somme vaut $9$ : $(0,9)$, $(1,8)$, $(2,7)$, $(3,6)$, $(4,5)$, $(5,4)$, $(6,3)$, $(7,2)$, $(8,1)$ et $(9,0)$.

Comme le nombre a $10$ chiffres, on a $a \neq 0$, donc le couple $(a,j)$ peut valoir n’importe lequel des couples possibles, sauf le premier. Ensuite, le couple $(b,i)$ peut prendre toutes les valeurs sauf $(a,j)$ et $(j,a)$, ce qui laisse $8$ possibilités. De la même façon, il reste $6$ possibilités pour $(c,h)$, les couples $(a,j)$, $(j,a)$, $(b,i)$, $(i,b)$ étant maintenant exclus, puis $4$ possibilités pour $(d,g)$, et enfin $2$ pour $(e,f)$. Au total, il y a donc $9\times 8 \times 6 \times 4 \times 2 = 3456$ nombres vérifiant les conditions de la question.