Un défi par semaine

Septembre 2017, 3e défi

Le 15 septembre 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 37 :

La figure montre une partie d’un polygone régulier. Si l’angle $\widehat{ACD}$ mesure $120^\circ$, combien de côtés possède le polygone ?

PNG - 16.5 ko

Solution du 2e défi de Septembre :

Enoncé

La réponse est $3456$ nombres.

Remarquons d’abord qu’il y a dix couples de chiffres dont la somme vaut $9$ : $(0,9)$, $(1,8)$, $(2,7)$, $(3,6)$, $(4,5)$, $(5,4)$, $(6,3)$, $(7,2)$, $(8,1)$ et $(9,0)$.

Comme le nombre a $10$ chiffres, on a $a \neq 0$, donc le couple $(a,j)$ peut valoir n’importe lequel des couples possibles, sauf le premier. Ensuite, le couple $(b,i)$ peut prendre toutes les valeurs sauf $(a,j)$ et $(j,a)$, ce qui laisse $8$ possibilités. De la même façon, il reste $6$ possibilités pour $(c,h)$, les couples $(a,j)$, $(j,a)$, $(b,i)$, $(i,b)$ étant maintenant exclus, puis $4$ possibilités pour $(d,g)$, et enfin $2$ pour $(e,f)$. Au total, il y a donc $9\times 8 \times 6 \times 4 \times 2 = 3456$ nombres vérifiant les conditions de la question.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2017, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - ROYALTYSTOCKPHOTO.COM / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Septembre 2017, 3e défi

    le 15 septembre 2017 à 08:28, par Al_louarn

    Soit $n$ le nombre de côtés, $\alpha$ l’angle en chaque sommet, et $O$ le centre du polygone.
    On calcule la somme des angles de $OBC$. On a $\widehat{BOC} = \frac{360}{n}$ et $\widehat{OBC}=\widehat{BCO}=\frac{\alpha}{2}$ donc $\frac{360}{n} + \alpha = 180$, puis $n=\frac{360}{180 - \alpha}$.
    Pour trouver $\alpha$ on fait la somme des angles de $ABC$. On a $\widehat{ABC} = \alpha$ et $\widehat{CAB}=\widehat{BCA}=\alpha-120$, donc $\alpha + 2(\alpha - 120) = 180$, puis $\alpha=140$.
    On en déduit $n=9$.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?