Un défi par semaine

Septembre 2018, 3e défi

Le 21 septembre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 38

Trouver tous les nombres réels $a$, $b$, $c$, $d$, tels que

\[\begin{eqnarray*} a+b+c+d & = & 20\\ ab+ac+ad+bc+bd+cd & = & 150. \end{eqnarray*}\]

Solution du 2e défi de septembre :

Enoncé

La réponse est : $336$

Appelons $x$ le numéro de la maison d’Anne.
Alors Anne a obtenu $6x$ ou $7x$, puis Jean a eu $6x+6$, $6x+7$, $7x+6$ ou $7x+7$, et finalement Tania a obtenu $6x$, $6x-1$, $6x+1$, $7x$, $7x-1$ ou $7x+1$. Comme le résultat de Tania est égal à 2015, le nombre $x$ est égal à $2014$, $2015$ ou $2016$ divisé par 6 ou 7.
De ces trois nombres, seul 2016 est divisible par 6 ou par 7, et on a
\[ \frac{2016}{6}=336 \qquad \frac{2016}{7}=288. \]
Par conséquent, le numéro de la maison d’Anne est 336 ou 288. Or 288 est impossible puisqu’aucun de ses chiffres n’est la somme des deux autres, au contraire de 336, puisque 6 est la somme $3+3$.
Donc Anne habite au numéro $336$.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2018, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • Septembre 2018, 3e défi

    le 23 septembre 2018 à 11:35, par Sidonie

    Et en reprenant votre magnifique idée, si on note a1, a2, .....an les nombres cherchés, S leur somme et P la somme des aixaj avec i<j alors l’unicité est donnée pour P=Sx(n-1)/2n, aucune solution pour une valeur inférieure de P et votre fameuse hypersphère de dimension n-1 pour une valeur supérieure de P.

    Répondre à ce message

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