Enoncé

La solution est $111\,888$.

Notons $a$ ce nombre. On a donc :
\[ a = 999 b= (1000-1)b =1000b - b. \]

Si le nombre $b$ avait un ou deux chiffres, alors le chiffre des centaines de $1000b-b$ serait un 9.
Par conséquent $b$ est constitué d’au moins trois chiffres.

D’autre part, $b$ ne peut pas se terminer par 0 puisque si c’était le cas on pourrait trouver un nombre strictement plus petit et ne contenant pas de 9 (simplement en divisant par 10).

De plus, le chiffre des dizaines ne peut pas non plus être $0$ car sinon, celui de $a$ serait un $9$. Enfin $b$ ne peut pas se terminer par un $1$ car sinon $a$ se terminerait par un $9$.

Ainsi le nombre minimum pour $b$ est $112$. Dans ce cas, $a=999\times 112=111\,888$ ne contient pas de $9$.