Un défi par semaine

Septembre 2019, 4e défi

El 27 septiembre 2019  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (5)
Leer el artículo en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 39

On construit la suite de nombres $X_n$ de la
manière suivante: $X_1=19$, $X_2=95$ et
\[X_{n+2} = \left[X_{n+1},X_n\right]+X_n,\]
où $[a,b]$ dénote le plus petit commun multiple de $a$ et $b$.

Trouver le plus grand commun diviseur de $X_{2018}$ et $X_{2019}$.

Solution du 3e défi de septembre :

Enoncé

La solution est $99$.

Ecrivons le nombre initial $n$ à deux chiffres sous la forme
$n=10t+u$ avec $t$ et $u$ ses chiffres. Distinguons alors deux cas:

  • Si $u\neq9$, le nombre obtenu en ajoutant 1 puis en inversant
    les chiffres est $10(u+1)+t$. Remarquons que $10(u+1)+t\neq 10t+u$ (car sinon on aurait $u=t=u+1$, ce qui est impossible!). Donc pour que $10(u+1)+t$ soit un diviseur de $n$, il faut nécessairement qu’il soit inférieur ou égal à $\frac{n}{2}$. On a donc $2(u+1)\leq t$.

Si $u=0$, on obtient $t\geq 2$ et on a les possibilités $20, 30, 40, 50, 60$, $70$, $80$ ou $90$.

Si $u=1$, alors $t\geq 4$ et on a les possibilités $ 41, 51, 61, 71, 81$ ou $91$.
Si $u=2$, alors $t\geq 6$ et on a les possibilités $62, 72, 82$ ou $92$.

Si $u=3$, alors $t\geq 8$ et on a les possibilités $83$ ou $93$.

Si $u\geq 4$, alors $t\geq 10$, ce qui est impossible.

On vérifie un à un qu’aucun des nombres listés plus haut ne fonctionne. Par conséquent, $u$ doit être égal à 9.

  • Si $u=9$, alors $n=10t+9$ et donc si de plus $t<9$, on a $n+1 = 10 \times (t+1)$. Dans ce cas, en inversant les chiffres, on obtient $t+1$ qui ne peut pas être un diviseur de $n= 10(t+1)-1$. On doit donc avoir également $t=9$, c’est-à-dire $n=99$. Dans ce cas le nombre obtenu en ajoutant 1 puis en inversant les chiffres est $001$ qui est bien un diviseur de $99$.
Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Septembre 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Comentario sobre el artículo

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Septembre 2019, 4e défi

    le 27 de septiembre de 2019 à 10:37, par François

    errata sur la formule de récurrence des $k_{n}$ : $k_{n+2} =$[$k_{n+1}$,$k_{n}$] + $k_{n}$.

    Répondre à ce message

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.