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Un défi par semaine

Septembre 2019, 4e défi

Le 27 septembre 2019 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 39

On construit la suite de nombres $X_n$ de la
manière suivante : $X_1=19$, $X_2=95$ et
\[X_{n+2} = \left[X_{n+1},X_n\right]+X_n,\]
où $[a,b]$ dénote le plus petit commun multiple de $a$ et $b$.

Trouver le plus grand commun diviseur de $X_{2018}$ et $X_{2019}$.

Solution du 3e défi de septembre :

Enoncé

La solution est $99$.

Ecrivons le nombre initial $n$ à deux chiffres sous la forme
$n=10t+u$ avec $t$ et $u$ ses chiffres. Distinguons alors deux cas :

Si $u\neq9$, le nombre obtenu en ajoutant 1 puis en inversant
les chiffres est $10(u+1)+t$. Remarquons que $10(u+1)+t\neq 10t+u$ (car sinon on aurait $u=t=u+1$, ce qui est impossible !). Donc pour que $10(u+1)+t$ soit un diviseur de $n$, il faut nécessairement qu’il soit inférieur ou égal à $\frac{n}{2}$. On a donc $2(u+1)\leq t$.

Si $u=0$, on obtient $t\geq 2$ et on a les possibilités $20, 30, 40, 50, 60$, $70$, $80$ ou $90$.

Si $u=1$, alors $t\geq 4$ et on a les possibilités $ 41, 51, 61, 71, 81$ ou $91$.
Si $u=2$, alors $t\geq 6$ et on a les possibilités $62, 72, 82$ ou $92$.

Si $u=3$, alors $t\geq 8$ et on a les possibilités $83$ ou $93$.

Si $u\geq 4$, alors $t\geq 10$, ce qui est impossible.

On vérifie un à un qu’aucun des nombres listés plus haut ne fonctionne. Par conséquent, $u$ doit être égal à 9.

Si $u=9$, alors $n=10t+9$ et donc si de plus $t<9$, on a $n+1 = 10 \times (t+1)$. Dans ce cas, en inversant les chiffres, on obtient $t+1$ qui ne peut pas être un diviseur de $n= 10(t+1)-1$. On doit donc avoir également $t=9$, c’est-à-dire $n=99$. Dans ce cas le nombre obtenu en ajoutant 1 puis en inversant les chiffres est $001$ qui est bien un diviseur de $99$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Commentaire sur l'article

Septembre 2019, 4e défi

le 27 septembre 2019 à 10:22, par François

La solution est 19.
En effet si $d$ est un diviseur de $X_{n+2}$ et de $X_{n+1}$, il divise aussi $X_{n}$. Il divise donc $X_{1} = 19$ et $ d = 1$ ou $19$. Comme $X_{2} = 95 = 19*5$, $19$ divise tous les $X_{n}$, $X_{n} = 19k_{n}$ avec la suite $k_{n}$ croissante et vérifiant $k_{1} = 1 ,\ k_{2} = 5$ et $k_{n+2} = k_{n+1} + k_{n}$.
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Septembre 2019, 4e défi

le 27 septembre 2019 à 10:37, par François

errata sur la formule de récurrence des $k_{n}$ : $k_{n+2} =$[$k_{n+1}$,$k_{n}$] + $k_{n}$.
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Septembre 2019, 4e défi

le 27 septembre 2019 à 16:43, par Niak

Sauf erreur, vous démontrez que $19$ est un diviseur commun mais pas forcément le plus grand. Pour cela, il suffirait par exemple démontrer que $k_n$ et $k_{n+1}$ sont toujours premiers entre-eux. Cela se vérifie aisément par récurrence : $k_1 = 1$, $k_2 = 5$ et l’on a $k_{n+2}=[k_{n+1},k_n]+k_n = k_{n+1}\times k_n + k_n$ car $k_{n+1}$ et $k_n$ sont premiers entre-eux par hypothèse de récurrence.
D’où $\text{PGCD}(k_{n+2},k_{n+1})=\text{PGCD}(k_{n+1}k_n+k_n,k_{n+1})=\text{PGCD}(k_n,k_{n+1}) = 1$ par hypothèse de récurrence.
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Septembre 2019, 4e défi

le 27 septembre 2019 à 17:49, par François

Je pensais qu’il était clair que tout diviseur de $X_{n+2}$ et de $X_{n+1}$ était aussi diviseur de $X_{1} = 19$, donc que le pgcd était soit $1$ ou $19$.
Ceci dit on a bien $k_{n+2} = k_{n}(k_{n+1}+1)$. En passant au log cela donne :
$\ln(k_{n+2}) = \ln(k_{n+1}) +\ln(k_{n}) +\ln(1+ \frac {1} {k_{n+1}})$. Comme $\lim k_n = \infty$, cela implique que la suite $\ln(k_{n})$ est très proche d’une suite de Fibonacci. Effectivement à partir de $n = 10$ le rapport entre $\ln(k_{n})$ et la suite de Fibonacci $F_{n}$ vérifiant $F_{10} = \ln(k_{10})$ et $F_{11}=\ln(k_{11})$ vaut $1$ à $10^{-30}$ près.
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Septembre 2019, 4e défi

le 27 septembre 2019 à 23:55, par Niak

En effet, vous avez raison, c’était très clair ! J’ai dû lire votre premier message un peu trop vite...
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