Un défi par semaine

Septembre 2020, 1er défi

Le 4 septembre 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (13)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 36

Un nombre entier positif $m$ est dit féroce s’il existe un nombre entier positif $N$ tel que la somme des chiffres de $N$ soit égale à $m$ et tel que $N$ soit divisible par $m+2020$. Trouver un nombre féroce plus petit que $100$.

Solution du 4e défi d’août :

Enoncé

La réponse est : $0$.

Calculons les premiers termes de cette suite pour voir si un schéma se répète.
On sait que $a_0=a_1=1$, ensuite on a :
\[ \begin{eqnarray*} a_2 & = & 1(a_0+a_1)=1(1+1)=2\\ a_3 & = & 2(a_1+a_2)=2(1+2)=6\\ a_4 & = & 3(2+6)=24\\ a_5 & = & 4(6+24)=120\\ a_6 & = & 5(24+120)=720. \end{eqnarray*} \]
Remarquons alors que $a_5$ et $a_6$ terminent par zéro, ce qui implique que la somme $a_{n-1} +a_{n}$, pour $n \geq 6$,
va forcément terminer aussi par un zéro.

Ainsi, le chiffre des unités pour $n \geq 6$ sera égal à $0$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2020, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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Image à la une - EQROY / SHUTTERSTOCK

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  • Septembre 2020, 1er défi

    le 5 septembre 2020 à 18:24, par drai.david

    Bonjour Olivier,
    j’ai une conjecture assez solide à ce sujet :
    « $m$ est féroce $\Leftrightarrow m\geq 4$ et $m\not\equiv 2$ $[3]$ ».
    À l’appui, ces résultats numériques obtenus informatiquement :
    4 : 5*2024=10120
    6 : 59235*2026=120010110
    7 : 593*2027=1202011
    9 : 207*2029=420003
    10 : 2*2030=4060
    12 : 66*2032=134112
    13 : 5*2033=10165
    15 : 15*2035=30525
    16 : 17*2036=34612
    18 : 9*2038=18342
    19 : 2*2039=4078
    21 : 12*2041=24492
    22 : 32*2042=65344
    24 : 24*2044=49056
    25 : 17*2045=34765
    27 : 18*2047=36846
    28 : 29*2048=59392
    30 : 39*2050=79950
    31 : 68*2051=139468
    33 : 33*2053=67749
    34 : 107*2054=219778
    36 : 189*2056=388584
    37 : 47*2057=96679
    39 : 183*2059=376797
    40 : 383*2060=788980
    42 : 429*2062=884598
    43 : 476*2063=981988
    45 : 963*2065=1988595
    46 : 803*2066=1658998
    48 : 822*2068=1699896
    49 : 1391*2069=2877979
    51 : 3138*2071=6498798
    52 : 3329*2072=6897688
    54 : 4527*2074=9388998
    55 : 13493*2075=27997975
    57 : 8661*2077=17988897
    58 : 13946*2078=28979788
    60 : 182211*2080=378998880
    61 : 32579*2081=67796899
    63 : 37926*2083=78999858
    64 : 47927*2084=99879868
    66 : 42186*2086=87999996
    67 : 43124*2087=89999788
    69 : 47391*2089=98999799
    70 : 430622*2090=899999980
    72 : 368064*2092=769989888
    73 : 334343*2093=699779899
    75 : 424821*2095=889999995

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