Un défi par semaine

Septembre 2020, 1er défi

Le 4 septembre 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (13)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 36

Un nombre entier positif $m$ est dit féroce s’il existe un nombre entier positif $N$ tel que la somme des chiffres de $N$ soit égale à $m$ et tel que $N$ soit divisible par $m+2020$. Trouver un nombre féroce plus petit que $100$.

Solution du 4e défi d’août :

Enoncé

La réponse est : $0$.

Calculons les premiers termes de cette suite pour voir si un schéma se répète.
On sait que $a_0=a_1=1$, ensuite on a :
\[ \begin{eqnarray*} a_2 & = & 1(a_0+a_1)=1(1+1)=2\\ a_3 & = & 2(a_1+a_2)=2(1+2)=6\\ a_4 & = & 3(2+6)=24\\ a_5 & = & 4(6+24)=120\\ a_6 & = & 5(24+120)=720. \end{eqnarray*} \]
Remarquons alors que $a_5$ et $a_6$ terminent par zéro, ce qui implique que la somme $a_{n-1} +a_{n}$, pour $n \geq 6$,
va forcément terminer aussi par un zéro.

Ainsi, le chiffre des unités pour $n \geq 6$ sera égal à $0$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2020, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - EQROY / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Septembre 2020, 1er défi

    le 5 septembre 2020 à 22:57, par olivier

    Il fallait lire
    1. la réciproque : si U n’est pas divisible par 3, est-ce que tous les entiers congrus à 0 ou U modulo 3 sont des nombres féroces ?

    Répondre à ce message

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