Un défi par semaine

Septembre 2020, 1er défi

Le 4 septembre 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (13)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 36

Un nombre entier positif $m$ est dit féroce s’il existe un nombre entier positif $N$ tel que la somme des chiffres de $N$ soit égale à $m$ et tel que $N$ soit divisible par $m+2020$. Trouver un nombre féroce plus petit que $100$.

Solution du 4e défi d’août :

Enoncé

La réponse est : $0$.

Calculons les premiers termes de cette suite pour voir si un schéma se répète.
On sait que $a_0=a_1=1$, ensuite on a :
\[ \begin{eqnarray*} a_2 & = & 1(a_0+a_1)=1(1+1)=2\\ a_3 & = & 2(a_1+a_2)=2(1+2)=6\\ a_4 & = & 3(2+6)=24\\ a_5 & = & 4(6+24)=120\\ a_6 & = & 5(24+120)=720. \end{eqnarray*} \]
Remarquons alors que $a_5$ et $a_6$ terminent par zéro, ce qui implique que la somme $a_{n-1} +a_{n}$, pour $n \geq 6$,
va forcément terminer aussi par un zéro.

Ainsi, le chiffre des unités pour $n \geq 6$ sera égal à $0$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2020, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - EQROY / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Septembre 2020, 1er défi

    le 6 septembre 2020 à 07:56, par olivier

    Bon dimanche matin !
    Je regarde vos 3e et 4e cas (où votre n est mon U)
    Conjecture 3 : si n≡3[9], alors m≢6[9] ;
    Conjecture 4 : si n≡6[9], alors m≢3[9]
    On peut prouver ces deux conjectures :
    Modulo 9, et non plus modulo 3, on a toujours (cf. mon message précédent)
    (k-1)m+ku=0
    dans mes notations, la 3e conjecture correspond à u = 3 (dans Z/9Z)
    Examinons ce cas
    (k-1)m+3k=0
    et voyons si m peut être égal à 6
    on aurait alors
    6(k-1)+3k=0 soit 9k=6
    Mais 9k = 0 (modulo 9) donc ce n’est pas possible
    Voyons maintenant u=6 et m=3
    on aurait alors
    3(k-1)+6k=0 soit 9k=6 donc 0=6
    C’est encore impossible
    Pour chaque u dans Z/9Z (de 0 à 8), j’ai produit le tableau des valeurs de la fonction qui à (k, m) de (Z/9Z)² associe (k-1)m+ku,
    Il n’y a hélas pas d’autres déductions faisables modulo 9 que celle que vous avez intuitées.
    (Remarque : ces tableaux indiquent aussi des valeurs permises et interdites pour k)
    Donc à la finale :
    si U≡1[3], alors M≢2[3] ;
    si U≡2[3], alors M≢1[3] ;
    si U≡3[9], alors M≢6[9] ;
    si U≡6[9], alors M≢3[9] ;
    Il faudrait maintenant étudier les réciproques et le cas U≡0[9]
    Bonne journée !

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