Un défi par semaine

Septembre 2020, 2e défi

Le 11 septembre 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 37 Combien de diviseurs possède le nombre $N=23^5-23$ ?

Solution du 1er défi de septembre :

Enoncé

La réponse est : $28$ est une possibilité.

Prenons $m+2020=2048=2^{11}$, c’est-à-dire $m=28$.

Nous pouvons ensuite prendre $N=9991 \times 2^{11} \times 5^{11}=9991 \times 10^{11}$
qui est divisible par $m+2020$ et dont la somme des chiffres est $9+9+9+1=28$.

Ainsi $28$ est un nombre féroce.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2020, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - EQROY / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Septembre 2020, 2e défi

    le 11 septembre à 07:53, par François

    $N = 23^5 - 23 = 23(23 - 1)(23 + 1)(23^2 + 1) = 2^5.3.5.11.23.53)$
    Soit $d(n)$ le nombre de diviseurs de $n$. On $d(p^k) = k +1$ si $p$ est un nombre premier et $d(p.q) = d(p).d(q)$ si $p$ et $q$ sont premiers entre eux.
    Donc $d(N) = 2^5.6 = 192$.

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