Un défi par semaine
Septembre 2021, 1er défi
El
3 septiembre 2021
- Escrito por
Ana Rechtman
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.
Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : «Le ciel dans tous ses états».
De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette aventure.
Semaine 35
Combien y a-t-il de nombres à quatre chiffres dont le produit des chiffres vaut $1225$?
Enoncé
La réponse est : $996\,506$.
Partageons la suite en blocs d’entiers consécutifs :
|
Entiers consécutifs de la suite |
Nombres mis de côté |
| Ligne 1 |
$1, 2, 3, 4$ |
$5$ |
| Ligne 2 |
$6, 7, 8, 9, 10$ |
$11, 12 $ |
| Ligne 3 |
$13, 14, 15, 16, 17, 18$ |
$19, 20, 21$ |
| $\vdots$ |
$\vdots$ |
$\vdots$ |
| Ligne 997 |
$996\, 001, 996\,002, \ldots$ |
$\cdots$ |
En première ligne, on a quatre nombres; en deuxième ligne, on en a cinq; en troisième ligne, six, etc. Dans les 996 premières lignes, il y a:
\[
4+5+6+\dots+999=\frac{999\times 1000}{2}-6=499\,494\, \, \text {nombres.}
\]
Alors le nombre en position $500\,000$ fait partie de la ligne 997, où il y a $1000$ entiers consécutifs, et c’est le nombre en position $506$ dans cette ligne d’entiers consécutifs.
En comptant tous les entiers, dans la suite et également ceux mis à part, on peut trouver le dernier nombre de la ligne $996$ :
\[
499\,494+(1+2+3+\cdots+996)=499\,494+496\,506=996\,000.
\]
Donc la ligne $997$ commence avec le nombre $996 001$ et le nombre cherché est $996\,000+506=996\,506$.
Post-scriptum : Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,
Para citar este artículo:
Ana Rechtman
— «Septembre 2021, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021
Comentario sobre el artículo
Septembre 2021, 1er défi
le 3 de septiembre de 2021 à 08:24, par jokemath