Un défi par semaine

Septembre 2021, 1er défi

Le 3 septembre 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 35
Combien y a-t-il de nombres à quatre chiffres dont le produit des chiffres vaut $1225$ ?

Solution du 4e défi d’août :

Enoncé

La réponse est : $996\,506$.

Partageons la suite en blocs d’entiers consécutifs :

Entiers consécutifs de la suite Nombres mis de côté
Ligne 1 $1, 2, 3, 4$ $5$
Ligne 2 $6, 7, 8, 9, 10$ $11, 12 $
Ligne 3 $13, 14, 15, 16, 17, 18$ $19, 20, 21$
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
Ligne 997 $996\, 001, 996\,002, \ldots$ $\cdots$

En première ligne, on a quatre nombres ; en deuxième ligne, on en a cinq ; en troisième ligne, six, etc. Dans les 996 premières lignes, il y a :
\[ 4+5+6+\dots+999=\frac{999\times 1000}{2}-6=499\,494\, \, \text {nombres.} \]
Alors le nombre en position $500\,000$ fait partie de la ligne 997, où il y a $1000$ entiers consécutifs, et c’est le nombre en position $506$ dans cette ligne d’entiers consécutifs.

En comptant tous les entiers, dans la suite et également ceux mis à part, on peut trouver le dernier nombre de la ligne $996$ :
\[ 499\,494+(1+2+3+\cdots+996)=499\,494+496\,506=996\,000. \]
Donc la ligne $997$ commence avec le nombre $996 001$ et le nombre cherché est $996\,000+506=996\,506$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2021, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Septembre 2021, 1er défi

    le 3 septembre à 08:24, par jokemath

    Comme 1225 = 5×5×7×7, alors il y a 6 nombres répondants à la question.
    Ce sont :
    5577, 5757, 5775 et 7755, 7575, 7557.

    Répondre à ce message

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