Septembre 2021, 1er défi

Le 3 septembre 2021 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette aventure.

Semaine 35
Combien y a-t-il de nombres à quatre chiffres dont le produit des chiffres vaut $1225$ ?

Solution du 4e défi d’août :

Enoncé

La réponse est : $996\,506$.

Partageons la suite en blocs d’entiers consécutifs :

	Entiers consécutifs de la suite	Nombres mis de côté
Ligne 1	$1, 2, 3, 4$	$5$
Ligne 2	$6, 7, 8, 9, 10$	$11, 12 $
Ligne 3	$13, 14, 15, 16, 17, 18$	$19, 20, 21$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
Ligne 997	$996\, 001, 996\,002, \ldots$	$\cdots$

En première ligne, on a quatre nombres ; en deuxième ligne, on en a cinq ; en troisième ligne, six, etc. Dans les 996 premières lignes, il y a :
\[ 4+5+6+\dots+999=\frac{999\times 1000}{2}-6=499\,494\, \, \text {nombres.} \]
Alors le nombre en position $500\,000$ fait partie de la ligne 997, où il y a $1000$ entiers consécutifs, et c’est le nombre en position $506$ dans cette ligne d’entiers consécutifs.

En comptant tous les entiers, dans la suite et également ceux mis à part, on peut trouver le dernier nombre de la ligne $996$ :
\[ 499\,494+(1+2+3+\cdots+996)=499\,494+496\,506=996\,000. \]
Donc la ligne $997$ commence avec le nombre $996 001$ et le nombre cherché est $996\,000+506=996\,506$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

Commentaire sur l'article

Septembre 2021, 1er défi

le 3 septembre à 08:24, par jokemath

Comme 1225 = 5×5×7×7, alors il y a 6 nombres répondants à la question.
Ce sont :
5577, 5757, 5775 et 7755, 7575, 7557.
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