Un défi par semaine

Septembre 2021, 2e défi

Le 10 septembre 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (13)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 36

$1000$ nombres réels différents de zéro et de $1$ sont placés sur le contour d’un cercle et peints alternativement en blanc et en noir. Chaque nombre noir est la somme de ses deux nombres voisins. Chaque nombre blanc est le produit de ses deux nombres voisins. Quelles sont les valeurs possibles de la somme des $1000$ nombres ?

Solution du 1er défi de septembre :

Enoncé

La réponse est : six.

La décomposition en produit de facteurs premiers de $1225$ est $5^2\times 7^2$.

Tout nombre à quatre chiffres dont le produit des chiffres vaut $1225$ contient donc deux fois le chiffre $5$ et deux fois le chiffre $7$.

Combien existe-t-il de tels nombres ? Il suffit de choisir les deux emplacements du chiffre $5$ parmi les quatre emplacements possibles (les deux chiffres $7$ devant alors prendre les deux places restantes).

Cela peut se faire de ${4 \choose 2}=6$ manières différentes. Il y a donc six nombres vérifiant la propriété.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2021, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Septembre 2021, 2e défi

    le 10 septembre à 08:49, par Christophe Boilley

    J’obtiens 750. Mais je ne comprends pas la restriction «  différents de 1  ».
    Si on autorise la valeur 0, là effectivement on peut trouver n’importe quelle somme.

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    • Septembre 2021, 2e défi

      le 10 septembre à 14:23, par mesmaker

      En fixant les deux nombres « B1 » et « N1 », on peut en déduire les 998 autres d’après l’énoncé avec des soustractions et des divisions de proche en proche. Le problème est que si l’on prend un 0, cela est impossible car il faudrait diviser par zéro. Si l’on prend un 1 parfois il n’y a pas de problème (B1=1, N1=2, 1, 0,5, -0,5, -1, -0,5, 0,5, ...) parfois cela engendre un 0 et donc une division par 0 (B1=4, N1=1, B2=-3, N2=-3, B3=0 !!). Je pense que c’est pour cela que l’autrice du défi à retirer ces deux valeurs.

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  • Septembre 2021, 2e défi

    le 10 septembre à 11:11, par Lina

    Soit a un nombre et ab et b ses successeurs, de proche en proche on trouve :
    b-ab, 1-a, (1-a)(1-b), (1-b), a(1-b) et nous revenons à a. On aura donc 125 cycles. Or la somme quels que soient a et b des 8 termes est 3 soit un total de 3 x 125 = 375

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    • Septembre 2021, 2e défi

      le 10 septembre à 14:59, par François

      Autre méthode :
      En notant les nombres $B_1, N_1, B_2, \cdots , B_{500}, N_{500}$ avec les conventions $B_{501} = B_1, N_{501} = N_1$ et $ N_0 = N_{500}$, on a pour tout $k$ de $1$ à $500$ $N_k = B_k + B_{k+1}$ (1) et $B_k = N_{k-1}N_k$ d’où $N_k = N_{k-1}N_k + N_kN_{k+1}$ . Comme $N_k\neq 0, N_{k-1} + N_{k+1} = 1$ (2).
      En sommant les relations (1) et (2) de $1$ à $500$, on obtient $\sum_{k=1}^{500} N_k= 2\sum_{k=1}^{500} B_k$ et $2\sum_{k=1}^{500} N_k = 500$ Donc $\sum_{k=1}^{500} N_k= 250$ et $\sum_{k=1}^{500} = 125$. La somme totale vaut donc $375$.

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    • Septembre 2021, 2e défi

      le 11 septembre à 16:56, par ROUX

      J’ai trouvé cette solution très élégante et présentée très clairement :-) !

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      • Septembre 2021, 2e défi

        le 11 septembre à 17:56, par François

        Merci !
        Si au lieu de $1000$, on a $N$ rééls, alors si $N$ est un multiple de $8$, il y a une solution qui est $\displaystyle \frac {3N} {8}$.

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  • Septembre 2021, 2e défi

    le 10 septembre à 18:22, par François

    $\sum_{k=1}^{500} B_k = 125$

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  • Septembre 2021, 2e défi

    le 10 septembre à 19:26, par Celem Mene

    Appelons ’b’ le nombre sur les cases blanches et ’n’ le nombre sur les cases noires.

    Nous calculons, d’après les conditions : n = 2b et b = n²

    Donc : n = 1/2 et b = 1/4, avec n et b différents de 0 et de 1.

    Addition des 500 cases blanches et 500 noires :

    (500 * 1/2) + (500 * 1/4) = 375.

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    • Septembre 2021, 2e défi

      le 13 septembre à 15:31, par Niak

      Toutes les cases d’une même couleur ne portent pas nécessairement le même nombre...

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      • Septembre 2021, 2e défi

        le 14 septembre à 10:09, par Celem Mene

        Certes, mais parmi tous ces commentaires théoriques, j’ai voulu construire effectivement ce cercle. Je serai curieux de voir une autre solution...

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        • Septembre 2021, 2e défi

          le 15 septembre à 08:11, par Lina

          Bonjour, ma solution pour laborieuse qu’elle apparaisse, donne une infinité de constructions.
          Ainsi avec a = 2 et b = 3 on obtient le cycle (2, 6, 3, -3, -1, 2, -2, -4) à répéter 125 fois.
          A noter que 0 et 1 ne posent pas de problèmes contrairement à ce que j’ai lu ailleurs ;
          Le cycle devient (0, 0, a, a, 1, 1-a, 1-a, 0) avec possibilité de changer la valeur de a à chacun des 125 cycles.

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  • Septembre 2021, 2e défi

    le 15 septembre à 11:37, par Celem Mene

    Bigre ! Joli.

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  • Septembre 2021, 2e défi : relations entre sommes des N et B / somme Nk + Nk+2

    le 17 septembre à 23:10, par ArnoMat

    Bonjour,

    On peut arriver au résultat en établissant que la somme des nombres noirs est double de celles des blancs, puis que la somme d’un couple noir [ Nk, Nk+2 ] vaut 1. Pour arriver à 250 + 125 = 375.

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