Un défi par semaine
Septembre 2021, 4e défi
El
24 septiembre 2021
- Escrito por
Ana Rechtman
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.
Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : «Le ciel dans tous ses états».
De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette aventure.
Semaine 38
Trois piles ont $11$, $7$ et $6$ pièces. Un jeu consiste à déplacer des pièces d’une pile à une autre de sorte qu’à chaque mouvement, une pile double son nombre de pièces et une seule pile diminue son nombre de pièces. Quel est le nombre minimal de mouvements à faire pour obtenir trois piles égales?
Enoncé
La réponse est : le graphe $2$.
Observons tout d’abord que c’est possible pour le graphe $2$: il suffit de partir de $A$, de recouvrir tout le contour extérieur du graphe pour revenir en $A$ puis de recouvrir les deux diagonales pour arriver en $B$.
Montrons maintenant que c’est impossible pour les graphes $1$ et $3$. Cela est dû au fait qu’il doit nécessairement y avoir un nombre impair d’arêtes qui partent du sommet $B$.
En effet, quand on recouvre le graphe, à chaque fois que l’on passe par $B$ sans s’y arrêter, on recouvre exactement deux arêtes partant de $B$ et, comme on doit finir en $B$, cela rajoute une arête supplémentaire, ce qui nous donne bien un nombre impair d’arêtes partant de $B$. Or, pour les graphes $1$ et $3$, il y a respectivement deux et quatre arêtes partant de $B$, ce qui rend impossible le recouvrement.
Remarque: en utilisant le même raisonnement, on montre facilement qu’une condition nécessaire pour pouvoir recouvrir un graphe en partant de $A$, en arrivant en $B$, sans jamais lever le crayon ni passer deux fois par la même arête, est que des sommets $A$ et $B$, il parte un nombre impair d’arêtes et que de chacun des autres sommets, il parte un nombre pair d’arêtes.
Si, en revanche, on veut tracer le graphe en partant d’un sommet $A$ et en finissant au sommet $A$, il faut que de chaque sommet parte un nombre pair d’arêtes. Un célèbre théorème d’Euler affirme que ces conditions sont suffisantes.
Post-scriptum : Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,
Para citar este artículo:
Ana Rechtman
— «Septembre 2021, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021
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