Un défi par semaine

Septembre 2022, 1er défi

Le 2 septembre 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 35

Un dresseur de fauves a cinq tigres et quatre lions. Il souhaite les placer en ligne de telle sorte qu’il n’y ait ni deux tigres ni deux lions côte à côte. En considérant chaque fauve distinct des autres, de combien de manières peut-il former sa ligne ?

Solution du 4e défi d’août 2022 :

Enoncé

Réponse : $7$ cm.

Notons $ABCD$ le carré et $P$ le point. Deux des sommets sont à $3$ cm de $P$ : on va distinguer deux cas, suivant que ces deux sommets sont adjacents ou opposés.

Imaginons que ces deux sommets soient opposés. Par symétrie, on peut supposer qu’il s’agit de $B$ et $D$, ce qui donne la figure suivante.

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Puisque $P$ est à égale distance de $B$ et $D$, il appartient à la médiatrice du segment $[BD]$, c’est-à-dire à la diagonale $(AC)$ du carré. Puisque $P$ est à l’intérieur du carré, on en déduit même que $P$ appartient au segment diagonal $[AC]$.
Cela entraîne que la diagonale du carré mesure au moins $7\,\mathrm{cm}$.
On obtient alors une contradiction : les deux petits côtés du triangle $DBP$ mesurent $3\,\mathrm{cm}$, alors que son plus grand côté mesure au moins $7\,\mathrm{cm}$, soit strictement plus que la somme des deux autres. Cela contredit l’inégalité triangulaire.

Il est donc nécessaire que les deux sommets à $3\,\mathrm{cm}$ de $P$ soient adjacents. Par symétrie, on peut supposer qu’il s’agit de $A$ et $B$, ce qui donne la figure suivante.

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Le point $P$ appartient alors à la médiatrice du segment $[AB]$, qui est également la médiatrice du segment $[C D]$. On en déduit que $CP = DP$, et donc que la quatrième distance vaut également $7\,\mathrm{cm}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2022, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Septembre 2022, 1er défi

    le 2 septembre à 07:51, par Al_louarn

    $5!4!=2880$
    On a eu la même question il y a deux semaines avec trois consonnes et deux voyelles...

    Répondre à ce message

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