Un défi par semaine

Septembre 2022, 2e défi

Le 9 septembre 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 36

De combien de manières peut-on choisir trois nombres entiers entre $1$ et $10$ compris de telle sorte que leur somme soit divisible par $3$ ?

Solution du 1er défi de septembre 2022 :

Enoncé

Le premier fauve doit être un tigre, et il y a cinq manières de le choisir. Le deuxième fauve doit être un lion, et il y a quatre possibilités pour le choisir. Le troisième doit être un tigre, et il reste quatre tigres possibles. Pour la quatrième place, il reste trois lions, etc.

De cette manière, on dénombre :

\[5\times 4\times 4\times 3\times 3\times 2\times 2\times 1\times 1=2880\]
manières différentes pour placer les fauves en ligne.

Réponse : $2880$ manières.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2022, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Septembre 2022, 2e défi

    le 9 septembre à 09:24, par Kamakor

    Soient $n_1$, $n_2$ et $n_3$ les trois nombres choisis. On considère leur divisions euclidiennes par $3$ :
    $n_1=3\times q_1+ r_1$ avec $0\leq r_1\leq2$
    $n_2=3\times q_2+ r_2$ avec $0\leq r_1\leq2$
    $n_3=3\times q_3+ r_3$ avec $0\leq r_1\leq2$

    Leur somme, alors égale à $3(q_1+q_2+q_3)+r_1+r_2+r_3$ est divisible par $3$ si et seulement si $r_1+r_2+r_3$ est divisible par 3. Les valeurs possibles de l’ensemble $\{r_1, r_2, r_3\}$ sont donc $\{0, 0, 0\}$, $\{0, 1, 2\}$, $\{1, 1, 1\}$ ou $\{2, 2, 2\}$.

    Or, parmi les nombres de $1$ à $10$, dans la division euclidienne par $3$,
    trois nombres ($3$, $6$ et $9$) ont pour reste $0$, quatre nombres ($1$, $4$, $7$ et $10$) ont pour reste $1$ et trois nombres ($2$, $5$ et $8$) ont pour reste $2$.

    Pour choisir trois nombres tels que $(r_1, r_2, r_3)=(0, 0, 0)$, il y a $\binom{3}{3}=1$ possibilité
    Pour choisir trois nombres tels que $(r_1, r_2, r_3)=(0, 1, 2)$, il y a $3\times 4\times 3=36$ possibilités
    Pour choisir trois nombres tels que $(r_1, r_2, r_3)=(1, 1, 1)$, il y a $\binom{4}{3}=4$ possibilités
    Pour choisir trois nombres tels que $(r_1, r_2, r_3)=(2, 2, 2)$, il y a $\binom{3}{3}=1$ possibilité

    Donc, au total, $42$ choix possibles.

    Répondre à ce message
    • Septembre 2022, 2e défi

      le 9 septembre à 09:29, par Kamakor

      Petites coquilles au début, on a bien sûr :
      $0 \leq r_2 \leq 2$
      $0 \leq r_3 \leq 2$

      Répondre à ce message
    • Septembre 2022, 2e défi

      le 9 septembre à 10:50, par Kamakor

      A la fin il faut aussi remplacer les parenthèses par des accolades :
      $\{r_1, r_2, r_3\}=\{0, 1, 2\}$

      Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?