Un défi par semaine

Septembre 2022, 3e défi

Le 16 septembre 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 37

On écrit un nombre entier à trois chiffres distincts. On écrit ensuite ce nombre à l’envers et on calcule la différence positive entre ces deux nombres. Si le nombre obtenu n’a que deux chiffres, on ajoute un zéro devant (par exemple, on écrit 099 pour 99). On ajoute à ce nombre, ce même nombre lu à l’envers. Quel est le résultat ?

Solution du 2e défi de septembre 2022 :

Enoncé

Si l’on choisit les trois multiples de $3$ qui existent entre $1$ et $10$ (les nombres $3$, $6$ et $9$), alors leur somme est divisible par $3$. Si l’on choisit les trois nombres dont le reste est $2$ dans leur division par $3$ (les nombres $2$, $5$ et $8$), alors leur somme est également divisible par $3$.

Voilà donc déjà deux manières de choisir les trois nombres.

Ensuite, il y a quatre nombres dont le reste dans la division par $3$ est $1$. Si l’on choisit trois nombres parmi ceux-ci, leur somme sera bien divisible par $3$. Il y a donc $\binom{4}{3}=4$ manières de les choisir.

On peut aussi choisir un nombre qui a pour reste $0$, un autre qui a pour reste $1$ et un troisième qui a pour reste $2$ dans la division par $3$.

Cela nous donne :
\[\frac{3\times 4\times 3}{3!}=6\]
manières de choisir un tel triplet. Observons qu’il faut diviser par $3!$ car l’ordre des nombres dans le triplet n’est pas important.

Finalement, on dénombre donc $1+1+4+6=12$ manières de choisir ces trois nombres.

Réponse : $12$ manières.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2022, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Septembre 2022, 3e défi

    le 16 septembre à 08:51, par François

    On trouve $1089$. Le calcul peut être fait dans n’importe quelle base $p$ de numération :
    Soit $cp^2 + bp + a$ le premier nombre en base $p$.
    La première opération donne $(cp^2 + bp + a) - (ap^2 + bp + c) =(p^2 -1)(c - a)$ si $c > a$.
    Posons $d = c - a$ avec $1\le d \le (p - 1)$. En base $p$, $(p^2 - 1)d$ s’écrit $(d - 1)p^2 + p(p - 1) + p - d$.
    La somme cherchée est donc $\left((d - 1)p^2 + p(p - 1) + p - d\right) +\left ((p - d)p^2 + p(p - 1) + (d - 1)\right) = (p + 1)^2(p - 1)$
    Pour $p = 10$ on trouve $1089$.

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  • Septembre 2022, 3e défi

    le 16 septembre à 08:53, par claude

    1089
    abc=100a+10b+c
    cba=100c+10b+a
    abc-cba= 99(a-c)
    1≤(a-c)≤9
    Les valeurs que peut prendre 99(a-c) sont donc :
    099, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891
    Si l’on ajoute à ces nombres
    990, 891 ...297, 198
    On trouve une même somme : 1089

    Répondre à ce message
  • Septembre 2022, 3e défi

    le 16 septembre à 11:39, par Celem Mene

    Intéressant, ce nombe 1089.

    Si on le multiplie par 9, alors le nombre obtenu : 9801, contient les mêmes chiffres (dans un ordre différent) qu’au départ. C’était d’ailleurs un des problèmes passé du calendrier.

    Répondre à ce message
    • Septembre 2022, 3e défi

      le 16 septembre à 16:30, par François

      Cette remarque est encore vraie en base $p$. En effet $(p + 1)^2(p - 1) = p^3 + (p - 2)p + p - 1$
      et $(p-1) (p+1)^2(p-1) = (p-1)p^3+(p-2)p^2+1$ . En base $p$, ces deux nombres s’écrivent avec les « chiffres » $1$, $0$, $p-2$ et $p-1$.
      On remarque que l’ordre de ces « chiffres » est inversé.

      Répondre à ce message
  • Solution du 2e défi de septembre 2022

    le 17 septembre à 13:43, par Celem Mene

    Je n’ai pas le niveau mathématique de la plupart de ceux qui répondent ici, en général, et il m’arrive de me tromper. Mais, cette réponse de 12 au défi précédent me semble fausse.

    J’ai donc établi la liste (je suis le tâcheron des mathématiques) des choix possibles :

    1 : 10 + 9 + 8 = 27
    2 : 10 + 9 + 5 = 24
    3 : 10 + 9 + 2 = 21
    4 : 10 + 8 + 6 = 24
    5 : 10 + 8 + 3 = 21
    6 : 10 + 7 + 4 = 21
    7 : 10 + 7 + 1 = 18
    8 : 10 + 6 + 5 = 21
    9 : 10 + 6 + 2 = 18
    10 : 10 + 5 + 3 = 18
    11 : 10 + 4 + 1 = 15
    12 : 10 + 3 + 2 = 15
    13 : 9 + 8 + 7 = 24
    14 : 9 + 8 + 4 = 21
    15 : 9 + 8 + 1 = 18
    16 : 9 + 7 + 5 = 21
    17 : 9 + 7 + 2 = 18
    18 : 9 + 6 + 3 = 18
    19 : 9 + 5 + 4 = 18
    20 : 9 + 5 + 1 = 15
    21 : 9 + 4 + 2 = 15
    22 : 9 + 2 + 1 = 12
    23 : 8 + 7 + 6 = 21
    24 : 8 + 7 + 3 = 18
    25 : 8 + 6 + 4 = 18
    26 : 8 + 6 + 1 = 15
    27 : 8 + 5 + 2 = 15
    28 : 8 + 4 + 3 = 15
    29 : 8 + 3 + 1 = 12
    30 : 7 + 6 + 5 = 18
    31 : 7 + 6 + 2 = 15
    32 : 7 + 5 + 3 = 15
    33 : 7 + 4 + 1 = 12
    34 : 7 + 3 + 2 = 12
    35 : 6 + 5 + 4 = 15
    36 : 6 + 5 + 1 = 12
    37 : 6 + 4 + 2 = 12
    38 : 6 + 2 + 1 = 9
    39 : 5 + 4 + 3 = 12
    40 : 5 + 3 + 1 = 9
    41 : 4 + 3 + 2 = 9
    42 : 3 + 2 + 1 = 6

    J’en trouve 42 (c’est un signe pas vrai ? : https://fr.wikipedia.org/wiki/La_grande_question_sur_la_vie,_l%27univers_et_le_reste), comme Kamakor (http://images.math.cnrs.fr/Septembre-2022-2e-defi.html) avant moi.

    Ou bien ?

    Répondre à ce message
    • Solution du 2e défi de septembre 2022

      le 17 septembre à 22:07, par Al_louarn

      Votre liste parle d’elle-même, la réponse ne peut pas être $12$. L’erreur est de diviser le produit $3 \times 4 \times 3$ par $3!$ pour compter les triplets de nombres ayant des restes tous différents. Effectivement l’ordre des nombres dans le triplet ne compte pas mais il est évident que lorsqu’on fait $3 \times 4 \times 3$ on ne compte pas toutes les permutations de chaque triplet mais bien une seule !

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      • Solution du 2e défi de septembre 2022

        le 18 septembre à 19:27, par Celem Mene

        Merci Al_louarn pour cette réponse.

        Voilà qui me rassure.

        Répondre à ce message

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