Un desafío por semana

Septiembre 2014, primer desafío

El 5 septiembre 2014  - Escrito por  Ana Rechtman
El 2 septiembre 2014
Artículo original : Septembre 2014, 1er défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 36:

Si uno dibuja cuatro circunferencias en el plano, ¿cuál es el número máximo de puntos de intersección que puede obtener?

Solución del quinto desafío de agosto

Enunciado

La respuesta es $~945$.

Hay que contar el número de tarjetas que representan $~2$ números a la vez. Para eso, es necesario contar la cantidad de números de tres cifras que se escriben únicamente con las cifras $0$, $1$, $6$, $8$ y $~9$. Como cada una de las tres cifras puede ser dispuesta en cualquier orden, se sabe que hay $~5\times5\times5=125~$ números con esta característica. De estos, hay que sacar aquellos que —al darlos vuelta en sentido inverso— son idénticos, como el $~609$. Observamos que la cifra del medio de esos números solamente puede ser $~0$, $1$ u $~8$. Además, las cifras de izquierda y derecha son o bien ambas iguales a $~0$, $1$ u $~8$, o bien igual a $~9$ para una y $~6$ para la otra. Así, hay $~3\times5=15$ números que al darlos vuelta son idénticos. Por lo tanto, hay $~125-15=110~$ números que al darlos vuelta son diferentes, lo que implica que se necesita sólo $~\frac{110}{2}=55~$ tarjetas para representarlos.

Para representar los números que tienen al menos una cifra distinta de $~0$, $1$, $6$, $8$ o $~9$, se necesita $~(10\times 10\times 10) -125=875~$ tarjetas. En consecuencia, el número de tarjetas que uno necesita es $~875+55+15=945$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Étienne Ghys - Ilustraciones: Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Septiembre 2014, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ’’Una fibración de Seifert’’, por Jos Leys.

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