Un desafío por semana

Septiembre 2017, cuarto desafío

El 22 septiembre 2017  - Escrito por  Ana Rechtman
El 22 septiembre 2017
Artículo original : Septembre 2017, 4e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 38 :

Los números reales $x$, $y$ y $z$ satisfacen las ecuaciones $x+y+z=18$ y $\dfrac 1x + \dfrac 1y + \dfrac 1z = 23$. ¿Cuál es el valor de $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{x}$ ?

Solución del tercer desafío de septiembre:

Enunciado

La respuesta es $9$ lados.

Un polígono es regular si todos sus lados tiene el mismo largo y todos sus ángulos interiores tienen la misma medida. Supongamos que el polígono tiene $n$ lados. Sea $O$ el centro del polígono y unamos $O$ con cada uno de los vértices $A$, $B$, $C$, $D$, etc.

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Como el polígono es regular, $AB=BC$ y el triángulo $ABC$ es isósceles. Por otra parte, la suma de los ángulos interiores del polígono vale $n \times 180^\circ - 360^\circ$. Por lo tanto, el ángulo $\angle ABC$ mide

$\frac{n \times 180^\circ - 360^\circ}n = \frac{n-2}n \times 180^\circ.$

Como $\angle ACD = 120^\circ$, tenemos

$\angle BCA = \angle BAC = \frac{n-2}n \times 180^\circ - 120^\circ.$

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es $180^\circ$, por lo que

$180^\circ = 2\left( \frac{n-2}n\times 180^\circ -120^\circ\right) + \frac{n-2}n\times 180^\circ$

$420^\circ = 3 \times \frac{n-2}n \times 180^\circ$

$\frac{7}{9} = \frac{n-2}{n}$

$n = 9,$

y, por lo tanto, el polígono tiene $9$ lados.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Septiembre 2017, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ROYALTYSTOCKPHOTO.COM / SHUTTERSTOCK

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